Ensino MédioCombinatória Tópico resolvido

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flamel
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Combinatória

Mensagem não lida por flamel »

Poderiam me ajudar nessas questões?

De quantos modos se pode...
A) Pintar um prisma pentagonal regular, usando sete cores?
B)Pintar um tetraedro regular, usando quatro cores?


Não possuo gabarito.



nullius in verba.

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A13235378
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Jan 2021 17 18:03

Re: Combinatória

Mensagem não lida por A13235378 »

Olá,

a) Temos duas bases e 5 faces laterais:

Escolhendo duas cores para as bases:

[tex3]\begin{pmatrix}
7 \\
2 \\
\end{pmatrix}=21[/tex3]

As 5 cores restantes:

Teremos uma permutação circular , pois podemos rotacionar o prisma de modo que encontraremos as mesmas configurações:

(5-1)! = 24

Total= 24.21 = 504

b)

Fixando uma cor para a base, sobram três para as faces laterais, de modo que novamente aplicaremos permutação circular:

1. (3-1)! = 2

obs: como a questão nao especificou se pode repetir cores , eu posso ter errado. No entanto, ao meu ver , como é uma questao do ensino médio , creio que realmente as faces serão diferentes.



"O que sabemos é uma gota , o que ignoramos é um oceano." Isaac Newton

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flamel
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Jan 2021 17 18:39

Re: Combinatória

Mensagem não lida por flamel »

A13235378 escreveu:
Dom 17 Jan, 2021 18:03
Olá,

a) Temos duas bases e 5 faces laterais:

Escolhendo duas cores para as bases:

[tex3]\begin{pmatrix}
7 \\
2 \\
\end{pmatrix}=21[/tex3]

As 5 cores restantes:

Teremos uma permutação circular , pois podemos rotacionar o prisma de modo que encontraremos as mesmas configurações:

(5-1)! = 24

Total= 24.21 = 504

b)

Fixando uma cor para a base, sobram três para as faces laterais, de modo que novamente aplicaremos permutação circular:

1. (3-1)! = 2

obs: como a questão nao especificou se pode repetir cores , eu posso ter errado. No entanto, ao meu ver , como é uma questao do ensino médio , creio que realmente as faces serão diferentes.

Muito obrigado!
Estou com uma dúvida na questão (b). Como o tetraedro é regular as 4 faces são iguais, não?
Seguindo isso seria indiferente eu colocar a cor 1 na base ou nas outras faces, então eu teria 1 possibilidade para a base, 3 para a próxima aresta, 2 para a próxima e 1 para a aresta restante.


nullius in verba.

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A13235378
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Jan 2021 18 07:03

Re: Combinatória

Mensagem não lida por A13235378 »

flamel escreveu:
Dom 17 Jan, 2021 18:39
A13235378 escreveu:
Dom 17 Jan, 2021 18:03
Olá,

a) Temos duas bases e 5 faces laterais:

Escolhendo duas cores para as bases:

[tex3]\begin{pmatrix}
7 \\
2 \\
\end{pmatrix}=21[/tex3]

As 5 cores restantes:

Teremos uma permutação circular , pois podemos rotacionar o prisma de modo que encontraremos as mesmas configurações:

(5-1)! = 24

Total= 24.21 = 504

b)

Fixando uma cor para a base, sobram três para as faces laterais, de modo que novamente aplicaremos permutação circular:

1. (3-1)! = 2

obs: como a questão nao especificou se pode repetir cores , eu posso ter errado. No entanto, ao meu ver , como é uma questao do ensino médio , creio que realmente as faces serão diferentes.

Muito obrigado!
Estou com uma dúvida na questão (b). Como o tetraedro é regular as 4 faces são iguais, não?
Seguindo isso seria indiferente eu colocar a cor 1 na base ou nas outras faces, então eu teria 1 possibilidade para a base, 3 para a próxima aresta, 2 para a próxima e 1 para a aresta restante.
Como são iguais, há permissão de rotacionar. Suponha que tal tetraedro está em cima de uma mesa. E você começa a analisar as faces laterais do tetraedro, você vai perceber que haverá configuraçoes iguais. Um exemplo é a seguinte:

. A .
B . C

. B .
C . A

. C .
A . B

Perceba que são as mesmas configuraçoes , apenas maneira rotacionada. Conclusao: isso é uma permutação circular.



"O que sabemos é uma gota , o que ignoramos é um oceano." Isaac Newton

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