Ensino Médio ⇒ Combinatória Tópico resolvido

[flamel]

Poderiam me ajudar nessas questões?

De quantos modos se pode...
A) Pintar um prisma pentagonal regular, usando sete cores?
B)Pintar um tetraedro regular, usando quatro cores?

Não possuo gabarito.

[A13235378]

Olá,

a) Temos duas bases e 5 faces laterais:

Escolhendo duas cores para as bases:

[tex3]\begin{pmatrix}
7 \\
2 \\
\end{pmatrix}=21[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
7 \\
2 \\
\end{pmatrix}=21[/tex3]

As 5 cores restantes:

Teremos uma permutação circular , pois podemos rotacionar o prisma de modo que encontraremos as mesmas configurações:

(5-1)! = 24

Total= 24.21 = 504

b)

Fixando uma cor para a base, sobram três para as faces laterais, de modo que novamente aplicaremos permutação circular:

1. (3-1)! = 2

obs: como a questão nao especificou se pode repetir cores , eu posso ter errado. No entanto, ao meu ver , como é uma questao do ensino médio , creio que realmente as faces serão diferentes.

[flamel]

Olá,

a) Temos duas bases e 5 faces laterais:

Escolhendo duas cores para as bases:

[tex3]\begin{pmatrix}
7 \\
2 \\
\end{pmatrix}=21[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
7 \\
2 \\
\end{pmatrix}=21[/tex3]

As 5 cores restantes:

Teremos uma permutação circular , pois podemos rotacionar o prisma de modo que encontraremos as mesmas configurações:

(5-1)! = 24

Total= 24.21 = 504

b)

Fixando uma cor para a base, sobram três para as faces laterais, de modo que novamente aplicaremos permutação circular:

1. (3-1)! = 2

obs: como a questão nao especificou se pode repetir cores , eu posso ter errado. No entanto, ao meu ver , como é uma questao do ensino médio , creio que realmente as faces serão diferentes.

Muito obrigado!
Estou com uma dúvida na questão (b). Como o tetraedro é regular as 4 faces são iguais, não?
Seguindo isso seria indiferente eu colocar a cor 1 na base ou nas outras faces, então eu teria 1 possibilidade para a base, 3 para a próxima aresta, 2 para a próxima e 1 para a aresta restante.

[A13235378]

Olá,

a) Temos duas bases e 5 faces laterais:

Escolhendo duas cores para as bases:

[tex3]\begin{pmatrix}
7 \\
2 \\
\end{pmatrix}=21[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
7 \\
2 \\
\end{pmatrix}=21[/tex3]

As 5 cores restantes:

Teremos uma permutação circular , pois podemos rotacionar o prisma de modo que encontraremos as mesmas configurações:

(5-1)! = 24

Total= 24.21 = 504

b)

Fixando uma cor para a base, sobram três para as faces laterais, de modo que novamente aplicaremos permutação circular:

1. (3-1)! = 2

obs: como a questão nao especificou se pode repetir cores , eu posso ter errado. No entanto, ao meu ver , como é uma questao do ensino médio , creio que realmente as faces serão diferentes.

Muito obrigado!
Estou com uma dúvida na questão (b). Como o tetraedro é regular as 4 faces são iguais, não?
Seguindo isso seria indiferente eu colocar a cor 1 na base ou nas outras faces, então eu teria 1 possibilidade para a base, 3 para a próxima aresta, 2 para a próxima e 1 para a aresta restante.

Como são iguais, há permissão de rotacionar. Suponha que tal tetraedro está em cima de uma mesa. E você começa a analisar as faces laterais do tetraedro, você vai perceber que haverá configuraçoes iguais. Um exemplo é a seguinte:

. A .
B . C

. B .
C . A

. C .
A . B

Perceba que são as mesmas configuraçoes , apenas maneira rotacionada. Conclusao: isso é uma permutação circular.