Ensino MédioInequação modular Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Autor do Tópico
Deleted User 23841
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Jan 2021 16 20:20

Inequação modular

Mensagem não lida por Deleted User 23841 »

Estou com dúvida em um exercício. Alguém poderia me ajudar??

[tex3]\frac{|3-2x|}{2+x}\leq [/tex3] 4

Eu Estava fazendo e dividi as duas funções em 2 casos possíveis:
|-2x + 3|:
-2x+3 se -2x + 3 [tex3]\geq [/tex3] 0. Ou seja, x [tex3]\leq \frac{3}{2}[/tex3]
2x - 3 se -2x + 3 < 0. Ou seja, x > [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

|x + 2|:
x + 2 se x [tex3]\geq [/tex3] -2
-x - 2 se x < -2

Após isso, resolvi da primeira forma, com x [tex3]\leq [/tex3] [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] e x [tex3]\geq [/tex3] -2. Encontrei a raiz do numerador (-[tex3]\frac{5}{6}[/tex3] ) e do denominador ( -2). Por último fiz a análise de sinal e encontrei como solução S = [-[tex3]\frac{5}{6}[/tex3] , [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] ].
Meu problema é que não estou conseguindo compreender porque o gabarito está [-[tex3]\frac{5}{6}[/tex3] , +[tex3]\infty [/tex3] ), já que -2x + 3, tem que ter como x, valores menores ou igual a -[tex3]\frac{3}{2}[/tex3] . Sendo assim não poderia ir até mais infinito e sim até [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] .

OBS: Ainda não terminei a conta, fiz somente esta primeira parte. Ainda irei fazer as outras condições.
Resposta

[-[tex3]\frac{5}{6}[/tex3]
,+[tex3]\infty [/tex3] )

Última edição: Deleted User 23841 (Sáb 16 Jan, 2021 20:23). Total de 2 vezes.



Loreto
2 - Nerd
Mensagens: 699
Registrado em: Qua 13 Jul, 2011 09:52
Última visita: 22-03-24
Jan 2021 17 15:36

Re: Inequação modular

Mensagem não lida por Loreto »













[/hr][/hr][/hr][/hr][/hr][/hr][/hr][/hr][/hr][/hr][/hr]
Ok?
Obrigado, abraço.
Anexos
l9.png
l9.png (36.48 KiB) Exibido 1376 vezes




Autor do Tópico
Deleted User 23841
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Jan 2021 17 21:36

Re: Inequação modular

Mensagem não lida por Deleted User 23841 »

Loreto Você escreveu algo acima da imagem?? Não consigo ver, pois consta apenas traços em vez de texto.



Avatar do usuário
csmarcelo
6 - Doutor
Mensagens: 5114
Registrado em: Sex 22 Jun, 2012 22:03
Última visita: 17-04-23
Jan 2021 17 23:14

Re: Inequação modular

Mensagem não lida por csmarcelo »

A resolução do Loreto é incorreta. Em uma inequção, não se pode jogar indiscriminadamente o denominador para o outro lado multiplicando quando temos uma expressão algébrica no denominador. A inequação permanece inalterada apenas para valores positivos da expressão "jogada". Para os negativos, seria necessário alterar o sinal da inequação.

[tex3]\frac{|3-2x|}{2+x}\leq4[/tex3]

[tex3]\frac{|3-2x|}{2+x}-4\leq0[/tex3]

[tex3]\frac{|3-2x|-4x-8}{2+x}\leq0[/tex3]

Analisando o numerador

1) [tex3]|3-2x|-4x-8=3-2x-4x-8=-6x-5[/tex3] quando [tex3]x\leq\frac{3}{2}[/tex3]

1.1) [tex3]-6x-5\geq0\implies x\leq-\frac{5}{6}[/tex3]

Nesse caso, [tex3]x\leq-\frac{5}{6}[/tex3] .

1.2) [tex3]-6x-5\leq0\implies x\geq-\frac{5}{6}[/tex3]

Nesse caso, [tex3]-\frac{5}{6}\leq x\leq\frac{3}{2}[/tex3] .

2) [tex3]|3-2x|-4x-8=-3+2x-4x-8=-2x-11[/tex3] quando [tex3]x>\frac{3}{2}[/tex3]

2.1) [tex3]-2x-11\geq0\implies x\leq-\frac{11}{2}[/tex3]

Nesse caso, [tex3]\nexists x[/tex3] .

2.2) [tex3]-2x-11\leq0\implies x\geq-\frac{11}{2}[/tex3]

Nesse caso, [tex3]x>\frac{3}{2}[/tex3] .

Resumindo,

O numerador será maior ou igual a zero quando [tex3]x\leq-\frac{5}{6}[/tex3] (1.1).

O numerador será menor ou igual a zero quando [tex3]-\frac{5}{6}\leq x\leq\frac{3}{2}[/tex3] (1.2) ou [tex3]x>\frac{3}{2}[/tex3] (2.2).

Analisando o denominador

3) [tex3]2+x>0\implies x>-2[/tex3]

4) [tex3]2+x<0\implies x<-2[/tex3]

Assim,

[tex3]\frac{|3-2x|-4x-8}{2+x}\leq0[/tex3] quando [tex3]x<-2[/tex3] (interseção entre 1.1 e 4) ou [tex3]x\geq-\frac{5}{6}[/tex3] (interseção entre 1.2 + 2.2 e 3)



Loreto
2 - Nerd
Mensagens: 699
Registrado em: Qua 13 Jul, 2011 09:52
Última visita: 22-03-24
Jan 2021 18 02:05

Re: Inequação modular

Mensagem não lida por Loreto »

csmarcelo escreveu:
Dom 17 Jan, 2021 23:14
A resolução do Loreto é incorreta. Em uma inequção, não se pode jogar indiscriminadamente o denominador para o outro lado multiplicando quando temos uma expressão algébrica no denominador. A inequação permanece inalterada apenas para valores positivos da expressão "jogada". Para os negativos, seria necessário alterar o sinal da inequação.
Isso é verdade, eu tinha ficado na dúvida. No entanto essa resposta final que você deu ficou muito confusa. Vou tentar refazer depois. Agradeço as correções de todos caso erre. Valeu.



Avatar do usuário
csmarcelo
6 - Doutor
Mensagens: 5114
Registrado em: Sex 22 Jun, 2012 22:03
Última visita: 17-04-23
Jan 2021 18 09:48

Re: Inequação modular

Mensagem não lida por csmarcelo »

[tex3]\frac{x}{3}>9[/tex3]

Desenvolvendo a inequação

[tex3]3\cdot\frac{x}{3}>3\cdot9[/tex3] * isso é o que, de fato, significa jogar o denominador para o outro lado multiplicando

[tex3]x>27[/tex3]

Agora, o que acontece se multiplicarmos ambos os lados por um número negativo? Será que a resolução é idêntica?

Veja a imagem abaixo. Se [tex3]y>x[/tex3] , então [tex3]-y<-x[/tex3] .
Untitled.png
Untitled.png (37.06 KiB) Exibido 1306 vezes
Assim, se o fator utilizado para multiplicar ambos os membros de uma inequação for negativo, devemos também alterar o sinal da inequação. Se era "maior", mudamos para "menor" e vice-versa.

Mas aí caímos no problema de quando o denominador é uma expressão algébrica.

[tex3]\frac{x+1}{x-2}>7[/tex3]

O sinal de [tex3]x-2[/tex3] depende do valor de [tex3]x[/tex3] . Por esse motivo, de duas uma:

1) Utilizamos o método tradicional

[tex3]\frac{x+1}{x-2}-7>0[/tex3]

[tex3]\frac{x+1-7x+14}{x-2}>0[/tex3]

[tex3]\frac{15-6x}{x-2}>0[/tex3]

E aí vem o estudo dos sinais.

2) De outra forma, você poderia separar os casos onde a expressão é positiva e negativa, mas nunca esquecendo de considerar as restrições do denominador da inequação original.

Para [tex3]x-2>0\therefore x>2[/tex3]

[tex3]x+1>7x-14[/tex3]

[tex3]6x-15<0[/tex3]

[tex3]6x<15[/tex3]

[tex3]x<\frac{15}{6}[/tex3]

Nesse caso, [tex3]2< x<\frac{15}{6}[/tex3] .

Para [tex3]x-2<0\therefore x<2[/tex3]

[tex3]x+1<7x-14[/tex3]

[tex3]6x-15>0[/tex3]

[tex3]x>\frac{15}{6}[/tex3]

Nesse caso, [tex3]\nexists x[/tex3] .



Autor do Tópico
Deleted User 23841
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Jan 2021 19 10:17

Re: Inequação modular

Mensagem não lida por Deleted User 23841 »

csmarcelo Muito obrigada!!!! Consegui compreender!!



Loreto
2 - Nerd
Mensagens: 699
Registrado em: Qua 13 Jul, 2011 09:52
Última visita: 22-03-24
Jan 2021 20 15:29

Re: Inequação modular

Mensagem não lida por Loreto »

Olá amigos. Espero que assim esteja melhor.
Obrigado, um abraço.
Anexos
Screenshot_20210120-152715.png
Screenshot_20210120-152715.png (172.25 KiB) Exibido 1225 vezes



Avatar do usuário
petras
7 - Einstein
Mensagens: 9826
Registrado em: Qui 23 Jun, 2016 14:20
Última visita: 26-03-24
Jan 2021 20 16:13

Re: Inequação modular

Mensagem não lida por petras »

Loreto,

Sua resposta continua incorreta, faltou o intervalo de - infinito ao menos 2 na resposta.
Substitua qualquer valor nesse intervalo e verifique a desigualdade se verifica.
Siga a resposta do Marcelo que está correta e veja o que falta na sua solução

DÊ preferência ao latex para responder.



Loreto
2 - Nerd
Mensagens: 699
Registrado em: Qua 13 Jul, 2011 09:52
Última visita: 22-03-24
Jan 2021 20 16:28

Re: Inequação modular

Mensagem não lida por Loreto »

Não dou preferência ao látex pq não domino muito ele ainda.

Última edição: Loreto (Qua 20 Jan, 2021 23:29). Total de 2 vezes.



Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem Função modular - Equação modular
    por inguz » » em Ensino Médio
    4 Respostas
    1504 Exibições
    Última msg por inguz
  • Nova mensagem Inequação Modular
    por Joilson » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    320 Exibições
    Última msg por petras
  • Nova mensagem Inequação modular
    por inguz » » em Ensino Médio
    0 Respostas
    305 Exibições
    Última msg por inguz
  • Nova mensagem Inequação modular
    por inguz » » em Ensino Médio
    2 Respostas
    400 Exibições
    Última msg por inguz
  • Nova mensagem Inequação modular
    por inguz » » em Ensino Médio
    2 Respostas
    418 Exibições
    Última msg por inguz

Voltar para “Ensino Médio”