Ensino MédioInequação modular Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Giii
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Jan 2021 16 20:20

Inequação modular

Mensagem não lida por Giii »

Estou com dúvida em um exercício. Alguém poderia me ajudar??

[tex3]\frac{|3-2x|}{2+x}[/tex3] [tex3]\leq [/tex3] 4

Eu Estava fazendo e dividi as duas funções em 2 casos possíveis:
|-2x + 3|:
-2x+3 se -2x + 3 [tex3]\geq [/tex3] 0. Ou seja, x[tex3]\leq [/tex3] [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]
2x - 3 se -2x + 3 < 0. Ou seja, x > [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

|x + 2|:
x + 2 se x [tex3]\geq [/tex3] -2
-x - 2 se x < -2

Após isso, resolvi da primeira forma, com x[tex3]\leq [/tex3] [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] e x [tex3]\geq [/tex3] -2. Encontrei a raiz do numerador (-[tex3]\frac{5}{6}[/tex3] ) e do denominador ( -2). Por último fiz a análise de sinal e encontrei como solução S = [-[tex3]\frac{5}{6}[/tex3] , [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] ].
Meu problema é que não estou conseguindo compreender porque o gabarito está [-[tex3]\frac{5}{6}[/tex3] , +[tex3]\infty [/tex3] ), já que -2x + 3, tem que ter como x, valores menores ou igual a -[tex3]\frac{3}{2}[/tex3] . Sendo assim não poderia ir até mais infinito e sim até [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] .

OBS: Ainda não terminei a conta, fiz somente esta primeira parte. Ainda irei fazer as outras condições.
Resposta

[-[tex3]\frac{5}{6}[/tex3]
,+[tex3]\infty [/tex3] )

Última edição: Giii (Sáb 16 Jan, 2021 20:23). Total de 2 vezes.



Loreto
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Jan 2021 17 15:36

Re: Inequação modular

Mensagem não lida por Loreto »













[/hr][/hr][/hr][/hr][/hr][/hr][/hr][/hr][/hr][/hr][/hr]
Ok?
Obrigado, abraço.
Anexos
l9.png
l9.png (36.48 KiB) Exibido 376 vezes




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Giii
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Re: Inequação modular

Mensagem não lida por Giii »

Loreto Você escreveu algo acima da imagem?? Não consigo ver, pois consta apenas traços em vez de texto.



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csmarcelo
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Re: Inequação modular

Mensagem não lida por csmarcelo »

A resolução do Loreto é incorreta. Em uma inequção, não se pode jogar indiscriminadamente o denominador para o outro lado multiplicando quando temos uma expressão algébrica no denominador. A inequação permanece inalterada apenas para valores positivos da expressão "jogada". Para os negativos, seria necessário alterar o sinal da inequação.

[tex3]\frac{|3-2x|}{2+x}\leq4[/tex3]

[tex3]\frac{|3-2x|}{2+x}-4\leq0[/tex3]

[tex3]\frac{|3-2x|-4x-8}{2+x}\leq0[/tex3]

Analisando o numerador

1) [tex3]|3-2x|-4x-8=3-2x-4x-8=-6x-5[/tex3] quando [tex3]x\leq\frac{3}{2}[/tex3]

1.1) [tex3]-6x-5\geq0\implies x\leq-\frac{5}{6}[/tex3]

Nesse caso, [tex3]x\leq-\frac{5}{6}[/tex3] .

1.2) [tex3]-6x-5\leq0\implies x\geq-\frac{5}{6}[/tex3]

Nesse caso, [tex3]-\frac{5}{6}\leq x\leq\frac{3}{2}[/tex3] .

2) [tex3]|3-2x|-4x-8=-3+2x-4x-8=-2x-11[/tex3] quando [tex3]x>\frac{3}{2}[/tex3]

2.1) [tex3]-2x-11\geq0\implies x\leq-\frac{11}{2}[/tex3]

Nesse caso, [tex3]\nexists x[/tex3] .

2.2) [tex3]-2x-11\leq0\implies x\geq-\frac{11}{2}[/tex3]

Nesse caso, [tex3]x>\frac{3}{2}[/tex3] .

Resumindo,

O numerador será maior ou igual a zero quando [tex3]x\leq-\frac{5}{6}[/tex3] (1.1).

O numerador será menor ou igual a zero quando [tex3]-\frac{5}{6}\leq x\leq\frac{3}{2}[/tex3] (1.2) ou [tex3]x>\frac{3}{2}[/tex3] (2.2).

Analisando o denominador

3) [tex3]2+x>0\implies x>-2[/tex3]

4) [tex3]2+x<0\implies x<-2[/tex3]

Assim,

[tex3]\frac{|3-2x|-4x-8}{2+x}\leq0[/tex3] quando [tex3]x<-2[/tex3] (interseção entre 1.1 e 4) ou [tex3]x\geq-\frac{5}{6}[/tex3] (interseção entre 1.2 + 2.2 e 3)



Loreto
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Re: Inequação modular

Mensagem não lida por Loreto »

csmarcelo escreveu:
Dom 17 Jan, 2021 23:14
A resolução do Loreto é incorreta. Em uma inequção, não se pode jogar indiscriminadamente o denominador para o outro lado multiplicando quando temos uma expressão algébrica no denominador. A inequação permanece inalterada apenas para valores positivos da expressão "jogada". Para os negativos, seria necessário alterar o sinal da inequação.
Isso é verdade, eu tinha ficado na dúvida. No entanto essa resposta final que você deu ficou muito confusa. Vou tentar refazer depois. Agradeço as correções de todos caso erre. Valeu.



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csmarcelo
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Re: Inequação modular

Mensagem não lida por csmarcelo »

[tex3]\frac{x}{3}>9[/tex3]

Desenvolvendo a inequação

[tex3]3\cdot\frac{x}{3}>3\cdot9[/tex3] * isso é o que, de fato, significa jogar o denominador para o outro lado multiplicando

[tex3]x>27[/tex3]

Agora, o que acontece se multiplicarmos ambos os lados por um número negativo? Será que a resolução é idêntica?

Veja a imagem abaixo. Se [tex3]y>x[/tex3] , então [tex3]-y<-x[/tex3] .
Untitled.png
Untitled.png (37.06 KiB) Exibido 306 vezes
Assim, se o fator utilizado para multiplicar ambos os membros de uma inequação for negativo, devemos também alterar o sinal da inequação. Se era "maior", mudamos para "menor" e vice-versa.

Mas aí caímos no problema de quando o denominador é uma expressão algébrica.

[tex3]\frac{x+1}{x-2}>7[/tex3]

O sinal de [tex3]x-2[/tex3] depende do valor de [tex3]x[/tex3] . Por esse motivo, de duas uma:

1) Utilizamos o método tradicional

[tex3]\frac{x+1}{x-2}-7>0[/tex3]

[tex3]\frac{x+1-7x+14}{x-2}>0[/tex3]

[tex3]\frac{15-6x}{x-2}>0[/tex3]

E aí vem o estudo dos sinais.

2) De outra forma, você poderia separar os casos onde a expressão é positiva e negativa, mas nunca esquecendo de considerar as restrições do denominador da inequação original.

Para [tex3]x-2>0\therefore x>2[/tex3]

[tex3]x+1>7x-14[/tex3]

[tex3]6x-15<0[/tex3]

[tex3]6x<15[/tex3]

[tex3]x<\frac{15}{6}[/tex3]

Nesse caso, [tex3]2< x<\frac{15}{6}[/tex3] .

Para [tex3]x-2<0\therefore x<2[/tex3]

[tex3]x+1<7x-14[/tex3]

[tex3]6x-15>0[/tex3]

[tex3]x>\frac{15}{6}[/tex3]

Nesse caso, [tex3]\nexists x[/tex3] .



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Giii
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Jan 2021 19 10:17

Re: Inequação modular

Mensagem não lida por Giii »

csmarcelo Muito obrigada!!!! Consegui compreender!!



Loreto
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Re: Inequação modular

Mensagem não lida por Loreto »

Olá amigos. Espero que assim esteja melhor.
Obrigado, um abraço.
Anexos
Screenshot_20210120-152715.png
Screenshot_20210120-152715.png (172.25 KiB) Exibido 225 vezes



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petras
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Jan 2021 20 16:13

Re: Inequação modular

Mensagem não lida por petras »

Loreto,

Sua resposta continua incorreta, faltou o intervalo de - infinito ao menos 2 na resposta.
Substitua qualquer valor nesse intervalo e verifique a desigualdade se verifica.
Siga a resposta do Marcelo que está correta e veja o que falta na sua solução

DÊ preferência ao latex para responder.



Loreto
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Jan 2021 20 16:28

Re: Inequação modular

Mensagem não lida por Loreto »

Não dou preferência ao látex pq não domino muito ele ainda.

Última edição: Loreto (Qua 20 Jan, 2021 23:29). Total de 2 vezes.



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