Sejam n [tex3]\in [/tex3]
[tex3]\sum_{p=0}^{n}[/tex3]
[tex3](-1)^{p-n}[/tex3]
.[tex3](-1)^{p}[/tex3]
.[tex3](-1)^{n-p}[/tex3]
.[tex3]\begin{pmatrix}
n\\
p\\
\end{pmatrix}[/tex3]
Gab: abaixo
N entendi a parte em amarelo...
Pq ele ficou colocando n, depois n-1...pq (-1)^p, pois somente o p varia como fiz abaixo:
N*, p [tex3]\in [/tex3]
N = {0,1,2, ...} e N* = {1, 2, 3, ...}. Calcule o valor de Ensino Médio ⇒ Triângulo pascal Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Dez 2020
09
19:02
Triângulo pascal
Última edição: jeabud (Qua 09 Dez, 2020 19:12). Total de 4 vezes.
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Dez 2020
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19:35
Re: Triângulo pascal
Olá jeabud!
Inicialmente, temos que:
[tex3]\displaystyle \mathsf{(- 1)^{p - n} \cdot (- 1)^p \cdot (- 1)^{n - p} = (- 1)^{p - n + p + n - p} = (- 1)^p}[/tex3]
Com efeito,
[tex3]\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} (- 1)^{p - n} \cdot (- 1)^p \cdot (- 1)^{n - p} \cdot \binom{n}{p} = \sum_{p = 0}^{n} (- 1)^p \cdot \binom{n}{p}} \\\\\\ \mathsf{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, \quad = \binom{n}{0} \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot (- 1)^n}[/tex3]
Ademais, note que:
[tex3]\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} (- 1)^p \cdot \binom{n}{p} = \binom{n}{0} \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot (- 1)^n} \\\\\\ \displaystyle \mathsf{\quad \qquad \qquad \qquad = \binom{n}{0} \cdot 1 \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot 1 \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot 1 \cdot (- 1)^n}[/tex3]
Repare que o UM não altera a soma... Ele passa a figurar na expressão para que possamos aplicar a definição de Binômio de Newton.
[tex3]\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1 \cdot (- 1)^p = \binom{n}{0} \cdot 1 \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot 1 \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot 1 \cdot (- 1)^n} \\\\\\ \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1^{n - p} \cdot (- 1)^p = \binom{n}{0} \cdot 1^n \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot 1^{n - 1} \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot 1^0 \cdot (- 1)^n} \\\\\\ \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1^{n - p} \cdot (- 1)^p = \left [ 1 + (- 1) \right ]^n} \\\\\\ \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1^{n - p} \cdot (- 1)^p = 0^n} \\\\\\ \boxed{\mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1^{n - p} \cdot (- 1)^p = 0}}[/tex3]
Obs1.:
Isto posto, considerando o triângulo aritmético de Pascal, podemos concluir que, de fato, a soma [tex3]\displaystyle \mathtt{\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} + \cdots + \binom{n}{n}}[/tex3] resulta em zero!
Veja abaixo o triângulo aritmético em sua forma assimétrica:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...
Tomemos como exemplo a última linha... (1 4 6 4 1) = (p1 p2 p3 p4 p5). A soma dos elementos de índices pares correspondem à soma dos elementos de índices ímpares => 1 + 6 + 1 = 4 + 4. Cabe provar!!
Obs2.: [tex3]\displaystyle \boxed{\mathtt{(x + y)^n = \sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} x^{n - p} y^p}}[/tex3]
Inicialmente, temos que:
[tex3]\displaystyle \mathsf{(- 1)^{p - n} \cdot (- 1)^p \cdot (- 1)^{n - p} = (- 1)^{p - n + p + n - p} = (- 1)^p}[/tex3]
Com efeito,
[tex3]\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} (- 1)^{p - n} \cdot (- 1)^p \cdot (- 1)^{n - p} \cdot \binom{n}{p} = \sum_{p = 0}^{n} (- 1)^p \cdot \binom{n}{p}} \\\\\\ \mathsf{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, \quad = \binom{n}{0} \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot (- 1)^n}[/tex3]
Ademais, note que:
[tex3]\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} (- 1)^p \cdot \binom{n}{p} = \binom{n}{0} \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot (- 1)^n} \\\\\\ \displaystyle \mathsf{\quad \qquad \qquad \qquad = \binom{n}{0} \cdot 1 \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot 1 \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot 1 \cdot (- 1)^n}[/tex3]
Repare que o UM não altera a soma... Ele passa a figurar na expressão para que possamos aplicar a definição de Binômio de Newton.
[tex3]\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1 \cdot (- 1)^p = \binom{n}{0} \cdot 1 \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot 1 \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot 1 \cdot (- 1)^n} \\\\\\ \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1^{n - p} \cdot (- 1)^p = \binom{n}{0} \cdot 1^n \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot 1^{n - 1} \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot 1^0 \cdot (- 1)^n} \\\\\\ \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1^{n - p} \cdot (- 1)^p = \left [ 1 + (- 1) \right ]^n} \\\\\\ \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1^{n - p} \cdot (- 1)^p = 0^n} \\\\\\ \boxed{\mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1^{n - p} \cdot (- 1)^p = 0}}[/tex3]
Obs1.:
Isto posto, considerando o triângulo aritmético de Pascal, podemos concluir que, de fato, a soma [tex3]\displaystyle \mathtt{\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} + \cdots + \binom{n}{n}}[/tex3] resulta em zero!
Veja abaixo o triângulo aritmético em sua forma assimétrica:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...
Tomemos como exemplo a última linha... (1 4 6 4 1) = (p1 p2 p3 p4 p5). A soma dos elementos de índices pares correspondem à soma dos elementos de índices ímpares => 1 + 6 + 1 = 4 + 4. Cabe provar!!
Obs2.: [tex3]\displaystyle \boxed{\mathtt{(x + y)^n = \sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} x^{n - p} y^p}}[/tex3]
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
Dez 2020
16
12:50
Re: Triângulo pascal
danjr5, o problema é enxergar
Última edição: jeabud (Qua 16 Dez, 2020 13:02). Total de 1 vez.
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