Ensino MédioTriângulo pascal Tópico resolvido

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jeabud
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Triângulo pascal

Mensagem não lida por jeabud »

Sejam n [tex3]\in [/tex3] N*, p [tex3]\in [/tex3] N = {0,1,2, ...} e N* = {1, 2, 3, ...}. Calcule o valor de
[tex3]\sum_{p=0}^{n}[/tex3] [tex3](-1)^{p-n}[/tex3] .[tex3](-1)^{p}[/tex3] .[tex3](-1)^{n-p}[/tex3] .[tex3]\begin{pmatrix}
n\\
p\\
\end{pmatrix}[/tex3]
Gab: abaixo
6C4DEE1D-25E9-43A6-B5DF-03912E483B90.jpeg
6C4DEE1D-25E9-43A6-B5DF-03912E483B90.jpeg (24.41 KiB) Exibido 1121 vezes
N entendi a parte em amarelo...
Pq ele ficou colocando n, depois n-1...pq (-1)^p, pois somente o p varia como fiz abaixo:
F5F703EB-E08B-455A-80B4-CDB789D48FF3.jpeg
F5F703EB-E08B-455A-80B4-CDB789D48FF3.jpeg (63.64 KiB) Exibido 1121 vezes

Última edição: jeabud (Qua 09 Dez, 2020 19:12). Total de 4 vezes.



danjr5
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Re: Triângulo pascal

Mensagem não lida por danjr5 »

Olá jeabud!

Inicialmente, temos que:

[tex3]\displaystyle \mathsf{(- 1)^{p - n} \cdot (- 1)^p \cdot (- 1)^{n - p} = (- 1)^{p - n + p + n - p} = (- 1)^p}[/tex3]

Com efeito,

[tex3]\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} (- 1)^{p - n} \cdot (- 1)^p \cdot (- 1)^{n - p} \cdot \binom{n}{p} = \sum_{p = 0}^{n} (- 1)^p \cdot \binom{n}{p}} \\\\\\ \mathsf{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, \quad = \binom{n}{0} \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot (- 1)^n}[/tex3]

Ademais, note que:

[tex3]\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} (- 1)^p \cdot \binom{n}{p} = \binom{n}{0} \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot (- 1)^n} \\\\\\ \displaystyle \mathsf{\quad \qquad \qquad \qquad = \binom{n}{0} \cdot 1 \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot 1 \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot 1 \cdot (- 1)^n}[/tex3]

Repare que o UM não altera a soma... Ele passa a figurar na expressão para que possamos aplicar a definição de Binômio de Newton.

[tex3]\\ \displaystyle \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1 \cdot (- 1)^p = \binom{n}{0} \cdot 1 \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot 1 \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot 1 \cdot (- 1)^n} \\\\\\ \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1^{n - p} \cdot (- 1)^p = \binom{n}{0} \cdot 1^n \cdot (- 1)^0 + \binom{n}{1} \cdot 1^{n - 1} \cdot (- 1)^1 + \cdots + \binom{n}{n} \cdot 1^0 \cdot (- 1)^n} \\\\\\ \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1^{n - p} \cdot (- 1)^p = \left [ 1 + (- 1) \right ]^n} \\\\\\ \mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1^{n - p} \cdot (- 1)^p = 0^n} \\\\\\ \boxed{\mathsf{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \cdot 1^{n - p} \cdot (- 1)^p = 0}}[/tex3]



Obs1.:

Isto posto, considerando o triângulo aritmético de Pascal, podemos concluir que, de fato, a soma [tex3]\displaystyle \mathtt{\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} + \cdots + \binom{n}{n}}[/tex3] resulta em zero!

Veja abaixo o triângulo aritmético em sua forma assimétrica:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...

Tomemos como exemplo a última linha... (1 4 6 4 1) = (p1 p2 p3 p4 p5). A soma dos elementos de índices pares correspondem à soma dos elementos de índices ímpares => 1 + 6 + 1 = 4 + 4. Cabe provar!!

Obs2.: [tex3]\displaystyle \boxed{\mathtt{(x + y)^n = \sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} x^{n - p} y^p}}[/tex3]



"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)

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Dez 2020 16 12:50

Re: Triângulo pascal

Mensagem não lida por jeabud »

danjr5, o problema é enxergar
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Última edição: jeabud (Qua 16 Dez, 2020 13:02). Total de 1 vez.



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