Ensino Médio ⇒ trigonometria
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Dez 2020
05
03:18
trigonometria
O ângulo [tex3]\theta \in\left[ \dfrac{\pi}{ 38 },\dfrac{\pi}{ 19 }\right][/tex3]
tal que [tex3]2\text{sen}^2(19\cdot\theta)-\cos(19\cdot \theta)=1[/tex3]
é [tex3]\theta =\dfrac{a\pi}{b}[/tex3]
, com a e b inteiros e [tex3]\frac{a}{b}[/tex3]
irredutível. Encontre o valor de a+b
-
snooplammer 
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Dez 2020
05
04:40
Re: trigonometria
[tex3]2\sen^2(19\cdot\theta)-\cos(19\cdot \theta)=1[/tex3]
Mas, [tex3]\sen^2 19\theta = 1 - \cos^2 19\theta[/tex3] . Daí,
[tex3]2(1 - \cos^2 19\theta) - \cos^2 19\theta = 1[/tex3]
[tex3]2 - 3\cos^2 19\theta = 1[/tex3]
[tex3]\cos^2 19\theta = \frac{1}{3}[/tex3]
[tex3]\cos 19\theta = \pm \frac{\sqrt 3}{3}[/tex3]
Como [tex3]\frac{\pi}{2} \leqslant 19 \theta \leqslant \pi[/tex3] , temos que [tex3]19\theta[/tex3] está no segundo quadrante e o [tex3]\cos 19\theta[/tex3] é negativo.
[tex3]19\theta = \frac{2\pi}{3}[/tex3] e daí [tex3]a + b = 5[/tex3] .
Mas, [tex3]\sen^2 19\theta = 1 - \cos^2 19\theta[/tex3] . Daí,
[tex3]2(1 - \cos^2 19\theta) - \cos^2 19\theta = 1[/tex3]
[tex3]2 - 3\cos^2 19\theta = 1[/tex3]
[tex3]\cos^2 19\theta = \frac{1}{3}[/tex3]
[tex3]\cos 19\theta = \pm \frac{\sqrt 3}{3}[/tex3]
Como [tex3]\frac{\pi}{2} \leqslant 19 \theta \leqslant \pi[/tex3] , temos que [tex3]19\theta[/tex3] está no segundo quadrante e o [tex3]\cos 19\theta[/tex3] é negativo.
[tex3]19\theta = \frac{2\pi}{3}[/tex3] e daí [tex3]a + b = 5[/tex3] .
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