Ensino Médio ⇒ Arranjo e Combinação com Repetição Tópico resolvido

[nedved10]

Dúvida entre ARRANJO COM REPETIÇÃO E COMB. COM REPETIÇÃO

Boa noite pessoal estou com uma dúvida em 2 exe. que (QUE ME PARECEM IDÊNTICOS); A dúvida é: porque no exercício 1 o correto seria resolvê-lo com a fórmula do ARRANJO COM REPETIÇÃO e no exercício 2 (que me parece uma situação análoga) é resolvido por meio da fórmula da COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO? *Obs: vou deixar os 2 ex. abaixo para vcs verem e discutirem, desde já muito obrigado!


1)"De quantos modos distintos 4 cartas distintas podem ser colocadas
em 3 caixas de correio?"

Resposta

---

Res: 81

2)"De quantas maneiras é possível colocar 6 anéis diferentes em 4 dedos?"

Resposta

---

Res: 60.480

Pq, por exemplo, no primeiro exer não poderiam existir agrupamentos com CX1= 0 CARTAS; CX2: 3 CARTAS; CX3: 0 CARTAS; CX4: 0 CARTAS; ?

[MateusQqMD]

Olá, nedved10.

De antemão, não tenho conhecimento sobre "arranjo com repetição". Nunca utilizei nenhum livro que trabalhasse o assunto, muito menos tive algum professor que lidasse com isso.

Mas a combinatória é a mesma..

Normalmente, é mais relevante a interpretação do problema, e o significado do enunciado, do que simplesmente a utilização de fórmulas.

O primeiro enunciado quer saber de quantos modos podemos colocar 4 cartas distintas em 3 caixas de correios. Perceba (ou pelo menos na minha cabeça faz sentido) que não é relevante a ordem em que essas cartas serão distribuídas (tanto dentro/entre as caixas de correios). A ideia é simplesmente distribuir coisas diferentes (cartas) pra caixas diferentes (caixas de correios). Daí 3 (possibilidades de distribuição pra primeira carta) vezes 3 (possibilidades de distribuição pra segunda carta) vezes 3 .. etc = 3⁴ = 81.

Veja se isso faz sentido pra você.

O segundo enunciado é ligeiramente diferente. Além de importar quantos anéis irão para cada dedo, também é relevante a ordem em que esses anéis serão colocados. Por isso, é sugestivo usar Combinação Completa (Combinação com Repetição) pra atacar esse problema.

Em primeiro lugar, a gente precisa determinar quantos anéis serão colocados em cada dedo. Isso pode ser feito a partir do número de soluções inteiras não-negativas da equação [tex3]x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6,[/tex3]

[tex3]P^{6, \, 3}_9 = 504.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P^{6, \, 3}_9 = 504.[/tex3]

Depois, devemos arrumar esses anéis nos dedos, ou seja, saber em que ordem eles serão colocados. Há [tex3]6![/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]6![/tex3]

modos de isso ser feito, concorda?

A resposta é a multiplicação desses eventos: [tex3]504 \times 6! = 60 480.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]504 \times 6! = 60 480.[/tex3]

[MateusQqMD]

Pq, por exemplo, no primeiro exer não poderiam existir agrupamentos com CX1= 0 CARTAS; CX2: 3 CARTAS; CX3: 0 CARTAS; CX4: 0 CARTAS; ?

Não consegui entender essa passagem. Mas caso ainda não tenha sido respondida na minha mensagem anterior, tente escrever essa dúvida de outra forma, blz?

[nedved10]

Obrigado por ter me respondido Mateus!

A sua resposta do 2 exercício eu entendi a idéia: vc PRIMEIRO escolhe dentre essas nove posições, 5 posições para se distribuir os 6 anéis; aí depois como os anéis são diferentes você PERMUTA cada subconjunto encontrado por P6=6!. blz

Vc disse que o enunciado da segunda questão é ligeiramente diferente mas eu reli e não consegui perceber isso (pelo menos não EXPLICITAMENTE):

O primeiro enunciado quer saber de quantos modos podemos colocar 4 cartas distintas em 3 caixas de correios. Perceba (ou pelo menos na minha cabeça faz sentido) que não é relevante a ordem em que essas cartas serão distribuídas (tanto dentro/entre as caixas de correios). A ideia é simplesmente distribuir coisas diferentes (cartas) pra caixas diferentes (caixas de correios).

Obrigado por ter me respondido Mateus!

O segundo enunciado é ligeiramente diferente. Além de importar quantos anéis irão para cada dedo, também é relevante a ordem em que esses anéis serão colocados.

Eu fiquei com a impressão que você entendeu (no 2 exer.) que além de se distribuir os anéis (descobrir o total de sub. de posições possível para colocá-los) é IMPORTANTE A ORDEM EM QUE CADA ANEL estará disposto no dedo (eu entendi isso TAMBÉM);
AGORA VEJA A DÚVIDA MORA AQUI: No primeiro ex. é pedido o número de modos de colocar, distribuir as cartas MAS ele também fala que as cartas são DISTINTAS então, para mim, é o mesmo caso do segundo ex. (anéis diferentes); Então parece que a ordem em que as cartas venham à estar dispostas dentro e entre as caixas também seria importante. Obs: eu acho que eu to pensando errado mas não consigo identificar onde está o erro

Não consegui entender essa passagem. Mas caso ainda não tenha sido respondida na minha mensagem anterior, tente escrever essa dúvida de outra forma, blz?

aqui pode desconsiderar eu entendi sozinho depois rs

[nedved10]

Se, por exemplo, no enunciado pergunta-se "De quantos modos podemos dispor 4 objetos iguais em 3 caixas de correios?" aí eu teria entendido.

[MateusQqMD]

Então parece que a ordem em que as cartas venham à estar dispostas dentro e entre as caixas também seria importante. Obs: eu acho que eu to pensando errado mas não consigo identificar onde está o erro

Pois é..

Acho que considerei a resposta no enunciado

Talvez não existe, realmente, algo escrito explicitamente que torne os enunciados distintos.