Ensino Médioequação geral do plano Tópico resolvido

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Hanako
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equação geral do plano

Mensagem não lida por Hanako »

Determine uma equação geral do plano que contém os pontos A=(−4,1,2) e B=(−6,−1,2) e é perpendicular ao plano xOy

Uma equação geral do plano é x+by+cz+d=0, em que

b =
c =
d =




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Cardoso1979
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Re: equação geral do plano

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

Neste caso, para determinar uma equação geral do plano , basta tomarmos um vetor normal ao plano xOy ( que equivale à z = 0 ) , ou seja , [tex3]\vec{n}[/tex3] = ( 0 , 0 , 1 )( esse vetor é paralelo ao plano a ser determinado , já que o plano xOy é perpendicular ao plano procurado ) e encontrar um vetor diretor paralelo também ao plano a ser determinado, como o plano a ser determinado contém os pontos A = ( - 4 ,1 , 2 ) e B = (- 6 , - 1 , 2 ) então podemos encontrar um vetor diretor [tex3]\vec{BA}[/tex3] , temos

[tex3]\vec{BA} = A - B = ( - 4 , 1 , 2 ) - ( - 6 , - 1 , 2 ) = ( 2 , 2 , 0 )[/tex3] .

Agora, iremos calcular o produto vetorial entre o vetor diretor [tex3]\vec{BA} = ( 2 , 2 , 0 )[/tex3] e o vetor normal ao plano z = 0 ( que é [tex3]\vec{n} = ( 0 , 0 , 1 )[/tex3] ) para encontrarmos um vetor normal ( [tex3]\vec{n}_{1}[/tex3] ) ao plano a ser determinado.

Segue-se que

[tex3]\vec{n}_{1} = \vec{BA} ×\vec{n} = \left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
2 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right|[/tex3]

Desenvolvendo o determinante acima, obtemos

[tex3]\vec{n}_{1} = 2.\vec{i} - 2.\vec{j} + 0.\vec{k}[/tex3]

ou seja ,

[tex3]\vec{n}_{1}[/tex3] = ( 2 , - 2 , 0 ) que é o vetor normal ao plano procurado, então o plano terá a seguinte característica

2.x - 2.y + 0.z + d = 0

Como o ponto A = ( - 4 , 1 , 2 ) está contido no plano, vem;

2.( - 4 ) - 2.1 - 0.2 + d = 0 → d = 10

Portanto, o plano procurado é 2x - 2y + 10 = 0 ou x - y + 5 = 0.


Obs
Você poderia também proceder assim [tex3]\vec{n}_{1}[/tex3] = ( 2 , - 2 , 0 ) = 2.( 1 , - 1 , 0 ) como sendo um vetor normal ao plano a ser determinado 👍



Excelente estudo!




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