Ensino MédioAritmética Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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NigrumCibum
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Aritmética

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Se a e b são números primos positivos e c é um número inteiro positivo, encontre todos os pares a, b e c que satisfazem a equação [tex3]a^4+52b^2-c^2=2021[/tex3]
Resposta

[tex3](a, b, c)=(19, 5, 360)[/tex3]



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Ittalo25
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Re: Aritmética

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]a = 5[/tex3] não dá solução, então [tex3]mdc(a,5) = 1 [/tex3]

Com isso dá para usar o pequeno teorema de fermat:

[tex3]a^4+52b^2-c^2=2021[/tex3]
[tex3]1+2b^2-c^2 \equiv 1 \mod(5)[/tex3]
[tex3]2b^2 \equiv c^2 \mod(5)[/tex3]

Mas vamos ver os resíduos quadráticos do 5:
[tex3]\begin{cases}
b \equiv 0 \rightarrow b^2 \equiv 0 \mod(5) \\
b \equiv 1 \rightarrow b^2 \equiv 1 \mod(5) \\
b \equiv 2 \rightarrow b^2 \equiv 4 \mod(5) \\
b \equiv 3 \rightarrow b^2 \equiv 4 \mod(5) \\
b \equiv 4 \rightarrow b^2 \equiv 1 \mod(5)
\end{cases}[/tex3]

Ou seja:
[tex3]\begin{cases}
2 \cdot 0 \equiv 0 \mod(5) \\
2\cdot 1 \equiv 2 \mod(5) \\
2\cdot 4 \equiv 3 \mod(5)
\end{cases}[/tex3]

O único jeito de encaixar é [tex3]2b^2 \equiv 0 \mod(5) [/tex3]
Aí como b é primo, [tex3]b=5 [/tex3]

Aí fica:
[tex3]a^4 - c^2 = (a^2-c) \cdot (a^2+c) = 721 = 7 \cdot 103 [/tex3]
E dá para encontrar os valores de a e c.



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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NigrumCibum
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Re: Aritmética

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Ittalo25, obrigado.


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Si2
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Re: Aritmética

Mensagem não lida por Si2 »

mas isso eh ensino médio? estou com medo agora de isso cair no meu vestibular



FelipeMartin
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Re: Aritmética

Mensagem não lida por FelipeMartin »

isso não cairá no santíssimo vestibular


Θα ντυθώ στα λευκά να σ' αγγίξω ξανά φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

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NigrumCibum
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Re: Aritmética

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Si2, acho que equações diofantinas são ensinadas no 9° ano dependendo da escola. Mas equações diofantinas não lineares já estão mais chegadas a olimpíadas aqui no Brasil.



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