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Aritmética
Enviado: Sáb 21 Nov, 2020 17:42
por NigrumCibum
Se a e b são números primos positivos e c é um número inteiro positivo, encontre todos os pares a, b e c que satisfazem a equação [tex3]a^4+52b^2-c^2=2021[/tex3]
Re: Aritmética
Enviado: Sáb 21 Nov, 2020 23:15
por Ittalo25
[tex3]a = 5[/tex3]
não dá solução, então [tex3]mdc(a,5) = 1 [/tex3]
Com isso dá para usar o pequeno teorema de fermat:
[tex3]a^4+52b^2-c^2=2021[/tex3]
[tex3]1+2b^2-c^2 \equiv 1 \mod(5)[/tex3]
[tex3]2b^2 \equiv c^2 \mod(5)[/tex3]
Mas vamos ver os resíduos quadráticos do 5:
[tex3]\begin{cases}
b \equiv 0 \rightarrow b^2 \equiv 0 \mod(5) \\
b \equiv 1 \rightarrow b^2 \equiv 1 \mod(5) \\
b \equiv 2 \rightarrow b^2 \equiv 4 \mod(5) \\
b \equiv 3 \rightarrow b^2 \equiv 4 \mod(5) \\
b \equiv 4 \rightarrow b^2 \equiv 1 \mod(5)
\end{cases}[/tex3]
Ou seja:
[tex3]\begin{cases}
2 \cdot 0 \equiv 0 \mod(5) \\
2\cdot 1 \equiv 2 \mod(5) \\
2\cdot 4 \equiv 3 \mod(5)
\end{cases}[/tex3]
O único jeito de encaixar é [tex3]2b^2 \equiv 0 \mod(5) [/tex3]
Aí como b é primo, [tex3]b=5 [/tex3]
Aí fica:
[tex3]a^4 - c^2 = (a^2-c) \cdot (a^2+c) = 721 = 7 \cdot 103 [/tex3]
E dá para encontrar os valores de a e c.
Re: Aritmética
Enviado: Sáb 21 Nov, 2020 23:27
por NigrumCibum
Ittalo25, obrigado.
Re: Aritmética
Enviado: Dom 22 Nov, 2020 23:27
por Si2
mas isso eh ensino médio? estou com medo agora de isso cair no meu vestibular
Re: Aritmética
Enviado: Seg 23 Nov, 2020 01:36
por FelipeMartin
isso não cairá no santíssimo vestibular
Re: Aritmética
Enviado: Seg 23 Nov, 2020 08:15
por NigrumCibum
Si2, acho que equações diofantinas são ensinadas no 9° ano dependendo da escola. Mas equações diofantinas não lineares já estão mais chegadas a olimpíadas aqui no Brasil.