Ensino MédioAritmética Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
NigrumCibum
2 - Nerd
Mensagens: 97
Registrado em: Sáb 31 Out, 2020 16:02
Última visita: 19-11-20
Nov 2020 21 17:42

Aritmética

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Se a e b são números primos positivos e c é um número inteiro positivo, encontre todos os pares a, b e c que satisfazem a equação [tex3]a^4+52b^2-c^2=2021[/tex3]
Resposta

[tex3](a, b, c)=(19, 5, 360)[/tex3]



Soleil de minuit.

Avatar do usuário
Ittalo25
5 - Mestre
Mensagens: 2155
Registrado em: Seg 18 Nov, 2013 22:11
Última visita: 01-12-20
Nov 2020 21 23:15

Re: Aritmética

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]a = 5[/tex3] não dá solução, então [tex3]mdc(a,5) = 1 [/tex3]

Com isso dá para usar o pequeno teorema de fermat:

[tex3]a^4+52b^2-c^2=2021[/tex3]
[tex3]1+2b^2-c^2 \equiv 1 \mod(5)[/tex3]
[tex3]2b^2 \equiv c^2 \mod(5)[/tex3]

Mas vamos ver os resíduos quadráticos do 5:
[tex3]\begin{cases}
b \equiv 0 \rightarrow b^2 \equiv 0 \mod(5) \\
b \equiv 1 \rightarrow b^2 \equiv 1 \mod(5) \\
b \equiv 2 \rightarrow b^2 \equiv 4 \mod(5) \\
b \equiv 3 \rightarrow b^2 \equiv 4 \mod(5) \\
b \equiv 4 \rightarrow b^2 \equiv 1 \mod(5)
\end{cases}[/tex3]

Ou seja:
[tex3]\begin{cases}
2 \cdot 0 \equiv 0 \mod(5) \\
2\cdot 1 \equiv 2 \mod(5) \\
2\cdot 4 \equiv 3 \mod(5)
\end{cases}[/tex3]

O único jeito de encaixar é [tex3]2b^2 \equiv 0 \mod(5) [/tex3]
Aí como b é primo, [tex3]b=5 [/tex3]

Aí fica:
[tex3]a^4 - c^2 = (a^2-c) \cdot (a^2+c) = 721 = 7 \cdot 103 [/tex3]
E dá para encontrar os valores de a e c.



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
NigrumCibum
2 - Nerd
Mensagens: 97
Registrado em: Sáb 31 Out, 2020 16:02
Última visita: 19-11-20
Nov 2020 21 23:27

Re: Aritmética

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Ittalo25, obrigado.


Soleil de minuit.

Avatar do usuário
Si2
Junior
Mensagens: 11
Registrado em: Sáb 07 Nov, 2020 21:26
Última visita: 23-11-20
Nov 2020 22 23:27

Re: Aritmética

Mensagem não lida por Si2 »

mas isso eh ensino médio? estou com medo agora de isso cair no meu vestibular



Avatar do usuário
FelipeMartin
Veterano
Mensagens: 281
Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
Última visita: 02-12-20
Nov 2020 23 01:36

Re: Aritmética

Mensagem não lida por FelipeMartin »

isso não cairá no santíssimo vestibular


Θα ντυθώ στα λευκά να σ' αγγίξω ξανά φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

Avatar do usuário
Autor do Tópico
NigrumCibum
2 - Nerd
Mensagens: 97
Registrado em: Sáb 31 Out, 2020 16:02
Última visita: 19-11-20
Nov 2020 23 08:15

Re: Aritmética

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Si2, acho que equações diofantinas são ensinadas no 9° ano dependendo da escola. Mas equações diofantinas não lineares já estão mais chegadas a olimpíadas aqui no Brasil.



Soleil de minuit.

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (IME 2010) Progressão Aritmética
    por AmandaGouveia » » em IME / ITA
    1 Respostas
    964 Exibições
    Última msg por Ittalo25
  • Nova mensagem Aritmética
    por Angelita » » em Ensino Fundamental
    1 Respostas
    79 Exibições
    Última msg por Ittalo25
  • Nova mensagem (UNICAMP) Aritmética
    por Brunoranery » » em Pré-Vestibular
    5 Respostas
    1111 Exibições
    Última msg por csmarcelo
  • Nova mensagem SHDias - Progressão Aritmética
    por henriquesws » » em Concursos Públicos
    3 Respostas
    509 Exibições
    Última msg por henriquesws
  • Nova mensagem Aritmética
    por botelho » » em Ensino Fundamental
    6 Respostas
    484 Exibições
    Última msg por Auto Excluído (ID:17906)

Voltar para “Ensino Médio”