Ensino MédioQuadrados perfeitos Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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BotoCorDeRosa
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Quadrados perfeitos

Mensagem não lida por BotoCorDeRosa »

Prove que se [tex3]2n+1[/tex3] e [tex3]3n+1[/tex3] são quadrados perfeitos, então [tex3]40|n[/tex3] .




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Ittalo25
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Re: Quadrados perfeitos

Mensagem não lida por Ittalo25 »

40 é 8x5, então temos de ver os restos na divisão por 8 e 5 de quadrados perfeitos.

[tex3]\begin{cases}
x \equiv 0 \mod(5)\rightarrow x^2 \equiv 0 \mod(5) \\
x \equiv 1 \mod(5)\rightarrow x^2 \equiv 1 \mod(5) \\
x \equiv 2 \mod(5)\rightarrow x^2 \equiv 4 \mod(5) \\
x \equiv 3 \mod(5)\rightarrow x^2 \equiv 4 \mod(5) \\
x \equiv 4 \mod(5)\rightarrow x^2 \equiv 1 \mod(5)
\end{cases}[/tex3]

Se [tex3]n \equiv 1 \mod(5) [/tex3] , então: [tex3]2n+1 \equiv 3 \mod(5)[/tex3] . Como já vimos não é possível.
Se [tex3]n \equiv 2 \mod(5) [/tex3] , então: [tex3]3n+1 \equiv 7 \equiv 2 \mod(5)[/tex3] . Como já vimos não é possível.
Se [tex3]n \equiv 3 \mod(5) [/tex3] , então: [tex3]2n+1 \equiv 7 \equiv 2 \mod(5)[/tex3] . Como já vimos não é possível.
Se [tex3]n \equiv 4 \mod(5) [/tex3] , então: [tex3]3n+1 \equiv 13 \equiv 3 \mod(5)[/tex3] . Como já vimos não é possível.
Então o único jeito é [tex3]n \equiv 0 \mod(5) [/tex3]

Agora você faz a mesma coisa com o módulo 8



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BotoCorDeRosa
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Re: Quadrados perfeitos

Mensagem não lida por BotoCorDeRosa »

[tex3]\begin{cases}
y^2\equiv0\mod8 \\
y^2\equiv1\mod8 \\
y^2\equiv4\mod8 \\
y^2\equiv0\mod8 \\
y^2\equiv1\mod8 \\
y^2\equiv4\mod8 \\
y^2\equiv1\mod8
\end{cases}[/tex3]

Ficando apenas com

[tex3]\begin{cases}
y^2\equiv0\mod8 \\
y^2\equiv1\mod8 \\
y^2\equiv4\mod8
\end{cases}[/tex3]

Para [tex3]n\equiv0\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv1\mod8[/tex3] , serve
Para [tex3]n\equiv1\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv3\mod8[/tex3] , não serve
Para [tex3]n\equiv2\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv5\mod8[/tex3] , não serve
Para [tex3]n\equiv3\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv7\mod8[/tex3] , não serve
Para [tex3]n\equiv4\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv1\mod8[/tex3] , serve
Para [tex3]n\equiv5\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv3\mod8[/tex3] , não serve
Para [tex3]n\equiv6\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv5\mod8[/tex3] , não serve
Para [tex3]n\equiv7\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv7\mod8[/tex3] , não serve

E agora? [tex3]2n+1\equiv1\mod8[/tex3] serviu



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Ittalo25
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Re: Quadrados perfeitos

Mensagem não lida por Ittalo25 »

BotoCorDeRosa escreveu:
Sex 16 Out, 2020 16:06
[tex3]\begin{cases}
y^2\equiv0\mod8 \\
y^2\equiv1\mod8 \\
y^2\equiv4\mod8 \\
y^2\equiv0\mod8 \\
y^2\equiv1\mod8 \\
y^2\equiv4\mod8 \\
y^2\equiv1\mod8
\end{cases}[/tex3]

Ficando apenas com

[tex3]\begin{cases}
y^2\equiv0\mod8 \\
y^2\equiv1\mod8 \\
y^2\equiv4\mod8
\end{cases}[/tex3]

Para [tex3]n\equiv0\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv1\mod8[/tex3] , serve
Para [tex3]n\equiv1\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv3\mod8[/tex3] , não serve
Para [tex3]n\equiv2\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv5\mod8[/tex3] , não serve
Para [tex3]n\equiv3\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv7\mod8[/tex3] , não serve
Para [tex3]n\equiv4\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv1\mod8[/tex3] , serve
Para [tex3]n\equiv5\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv3\mod8[/tex3] , não serve
Para [tex3]n\equiv6\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv5\mod8[/tex3] , não serve
Para [tex3]n\equiv7\mod8\rightarrow [/tex3] [tex3]2n+1\equiv7\mod8[/tex3] , não serve

E agora? [tex3]2n+1\equiv1\mod8[/tex3] serviu
Para [tex3]n \equiv 4 mod(8) [/tex3] , então [tex3]3n+1 \equiv 13 \equiv 5 \mod(8) [/tex3]
Não serve

2n+1 e 3n+1 devem ser quadrados perfeitos


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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BotoCorDeRosa
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Re: Quadrados perfeitos

Mensagem não lida por BotoCorDeRosa »

É verdade. já estava esquecendo do 3n+1, então tá provado. Valeu, Italo!!!!




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