Ensino Médio ⇒ Teorema das Raízes Racionais Tópico resolvido
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Set 2020
25
14:20
Teorema das Raízes Racionais
Da para usar o Teorema das Raízes Racionais para provar que um número é irracional?
Set 2020
25
23:20
Re: Teorema das Raízes Racionais
Depende do número.
Primeiro vamos ao Teorema:
Provar que um número tipo [tex3]\sqrt{7+\sqrt2}[/tex3] é irracional também é possível. Basta fazer o seguinte:
[tex3]x=\sqrt{7+\sqrt2}[/tex3]
[tex3]x^2={7+\sqrt2}[/tex3]
[tex3]x^2-7=\sqrt2[/tex3]
[tex3]x^4-14x^2+49=2[/tex3]
[tex3]x^4-14x^2+47=0[/tex3]
Aplicando o Teorema, temos que as possíveis raízes racionais são [tex3]\{\pm1,\pm47\}[/tex3]. Testando, nenhum valor satisfaz, o que significa que essa equação não possuí raízes racionais. Como nosso número é solução dessa equação, então ele deve ser irracional.
Mas o teorema não se limita a raiz quadrada. Se tivermos, por exemplo [tex3]\sqrt[5]{1+\sqrt[3]2}[/tex3] :
[tex3]x=\sqrt[5]{1+\sqrt[3]2}[/tex3]
[tex3]x^5={1+\sqrt[3]2}[/tex3]
[tex3]x^5-1={\sqrt[3]2}[/tex3]
[tex3](x^5-1)^3=2[/tex3]
[tex3]x^{15}-x^{10}+x^5-1=2[/tex3]
[tex3]x^{15}-x^{10}+x^5-3=0[/tex3]
Pelo Teorema, temos que as possíveis raízes racionais são [tex3]\{\pm1,\pm3\}[/tex3]. Testando, nenhum valor satisfaz, o que significa sem raízes racionais, que implica que ele deve ser irracional.
Podemos até provar algumas coisas bem loucas, como o [tex3]\sen(15^\circ)[/tex3] ser irracional:
[tex3]\sen(30^\circ)=\sen(2\cdot15^\circ)[/tex3]
[tex3]\sen(30^\circ)=2\sen(15^\circ)\cos(15^\circ)[/tex3]
[tex3]{1\over2}=2\sen(15^\circ)\cos(15^\circ)[/tex3]
[tex3]\({1\over2}\)^2=[2\sen(15^\circ)\cos(15^\circ)]^2[/tex3]
[tex3]{1\over4}=4\sen^2(15^\circ)\cos^2(15^\circ)[/tex3]
[tex3]{1\over4}=4\sen^2(15^\circ)\[1-\sen^2(15^\circ)\][/tex3]
Chamando [tex3]\sen(15^\circ)=x[/tex3]:
[tex3]{1\over4}=4x^2\[1-x^2\][/tex3]
[tex3]{1\over4}=4x^2-4x^4[/tex3]
[tex3]1=16x^2-16x^4[/tex3]
[tex3]16x^4-16x^2+1=0[/tex3]
Pelo teorema, temos que as possíveis raízes racionais são [tex3]\left\{\pm1,\pm{1\over2},\pm{1\over4},\pm{1\over8},\pm{1\over16}\right\}[/tex3]. Testando estes, nenhum satisfaz. Assim, nenhuma das raízes é racional, mas como [tex3]\sen(15^\circ)[/tex3] é raiz, então este é irracional.
Agora, existem números que não tem como mostrar. Por exemplo, não daria pra mostrar que [tex3]\pi[/tex3] é irracional, por que, como eu não sei se [tex3]\pi[/tex3] é racional ou não, não tem uma forma de construir um polinômio de coeficientes inteiros com ele, condição necessária para aplicação. A menos que eu conheça alguma equação com [tex3]\pi[/tex3] que possa converter em um polinômio, assim como eu fiz para o [tex3]\sen(15^\circ)[/tex3] . Mas fica aí essa ferramenta.
Primeiro vamos ao Teorema:
Provar que raiz de "não-quadrado" é irracional, por exemplo [tex3]\sqrt5[/tex3] , é fácil. Esse número é raiz da equação [tex3]x^2-5=0[/tex3] . Usando o teorema, vemos que as possibilidades de raízes racionais são [tex3]\{\pm1,\pm5\}[/tex3] . Testando esses valores, nenhum satisfaz. Logo, a raiz não pode ser racional. Mas como [tex3]\sqrt 5[/tex3] é raiz, então esse número é irracional. Isso pode ser usado pra mostrar que a raiz de qualquer "não-quadrado" é irracional.Teorema das Raízes Racionais:
Seja o polinômio de coeficientes inteiros [tex3]P(x)=a_0+a_1x^1+...+a_nx^n[/tex3]. Se [tex3]\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}[/tex3] for raíz desse polinômio, com [tex3]\mdc(p,q)=1[/tex3], então [tex3]p[/tex3] é divisor de [tex3]a_0[/tex3] e [tex3]q[/tex3] é divisor de [tex3]a_n[/tex3]
Demonstração:Resposta
Seja o polinômio de coeficientes inteiros [tex3]P(x)=a_0+a_1x^1+...+a_nx^n[/tex3]. Se [tex3]\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}[/tex3] for raíz desse polinômio, com [tex3]\mdc(p,q)=1[/tex3], então:
[tex3]P\(p\over q\) =a_0+a_1\(p\over q\)+...+a_n\(p\over q\)^n=0[/tex3]
[tex3]a_0+a_1\(p\over q\)+...+a_n\(p\over q\)^n=0[/tex3]
[tex3]a_1\(p\over q\)+...+a_n\(p\over q\)^n=-a_0[/tex3]
[tex3]q^n\[a_1\(p\over q\)+...+a_n\(p\over q\)^n\]=q^n\cdot(-a_0)[/tex3]
[tex3]a_1pq^{n-1}+...+a_np^n=-q^na_0[/tex3]
Como todos os termos do lado esquerdo possuem um termo [tex3]p[/tex3] , podemos colocá-lo em evidência:
[tex3]p\[a_1q^{n-1}+...+a_np^{n-1}\]=-q^na_0[/tex3]
O lado esquerdo é divisível por [tex3]p[/tex3] . Então o lado direito também deve ser. Como temos um produto [tex3]-a_0q^n[/tex3] , [tex3]p[/tex3] deve dividir um dos termos. Como [tex3]\mdc(p,q)=1[/tex3] , então ele não divide [tex3]q[/tex3] , nem suas potências. Portanto, [tex3]p[/tex3] divide [tex3]a_0[/tex3]. Também temos que:
[tex3]a_1pq^{n-1}+...+a_np^n=-q^na_0[/tex3]
[tex3]q^na_0+a_1pq^{n-1}+...+a_np^n=0[/tex3]
[tex3]q^na_0a_1pq^{n-1}+...+q^na_0=-a_np^n[/tex3]
Como todos os termos do lado esquerdo possuem um termo [tex3]q[/tex3] , podemos colocá-lo em evidência:
[tex3]q\[q^{n-1}a_0+a_1pq^{n-2}+...+a_{n-1}p^{n-1}q\]=-a_np^n[/tex3]
Fazendo a mesma análise de antes, podemos concluir que [tex3]q[/tex3] divide [tex3]a_n[/tex3].
Provar que um número tipo [tex3]\sqrt{7+\sqrt2}[/tex3] é irracional também é possível. Basta fazer o seguinte:
[tex3]x=\sqrt{7+\sqrt2}[/tex3]
[tex3]x^2={7+\sqrt2}[/tex3]
[tex3]x^2-7=\sqrt2[/tex3]
[tex3]x^4-14x^2+49=2[/tex3]
[tex3]x^4-14x^2+47=0[/tex3]
Aplicando o Teorema, temos que as possíveis raízes racionais são [tex3]\{\pm1,\pm47\}[/tex3]. Testando, nenhum valor satisfaz, o que significa que essa equação não possuí raízes racionais. Como nosso número é solução dessa equação, então ele deve ser irracional.
Mas o teorema não se limita a raiz quadrada. Se tivermos, por exemplo [tex3]\sqrt[5]{1+\sqrt[3]2}[/tex3] :
[tex3]x=\sqrt[5]{1+\sqrt[3]2}[/tex3]
[tex3]x^5={1+\sqrt[3]2}[/tex3]
[tex3]x^5-1={\sqrt[3]2}[/tex3]
[tex3](x^5-1)^3=2[/tex3]
[tex3]x^{15}-x^{10}+x^5-1=2[/tex3]
[tex3]x^{15}-x^{10}+x^5-3=0[/tex3]
Pelo Teorema, temos que as possíveis raízes racionais são [tex3]\{\pm1,\pm3\}[/tex3]. Testando, nenhum valor satisfaz, o que significa sem raízes racionais, que implica que ele deve ser irracional.
Podemos até provar algumas coisas bem loucas, como o [tex3]\sen(15^\circ)[/tex3] ser irracional:
[tex3]\sen(2\theta )=2\sen(\theta )\cos(\theta )[/tex3]
[tex3]\sen(30^\circ)=\sen(2\cdot15^\circ)[/tex3]
[tex3]\sen(30^\circ)=2\sen(15^\circ)\cos(15^\circ)[/tex3]
[tex3]{1\over2}=2\sen(15^\circ)\cos(15^\circ)[/tex3]
[tex3]\({1\over2}\)^2=[2\sen(15^\circ)\cos(15^\circ)]^2[/tex3]
[tex3]{1\over4}=4\sen^2(15^\circ)\cos^2(15^\circ)[/tex3]
[tex3]\cos^2(\theta )=1-\sen^2(\theta )[/tex3]
[tex3]{1\over4}=4\sen^2(15^\circ)\[1-\sen^2(15^\circ)\][/tex3]
Chamando [tex3]\sen(15^\circ)=x[/tex3]:
[tex3]{1\over4}=4x^2\[1-x^2\][/tex3]
[tex3]{1\over4}=4x^2-4x^4[/tex3]
[tex3]1=16x^2-16x^4[/tex3]
[tex3]16x^4-16x^2+1=0[/tex3]
Pelo teorema, temos que as possíveis raízes racionais são [tex3]\left\{\pm1,\pm{1\over2},\pm{1\over4},\pm{1\over8},\pm{1\over16}\right\}[/tex3]. Testando estes, nenhum satisfaz. Assim, nenhuma das raízes é racional, mas como [tex3]\sen(15^\circ)[/tex3] é raiz, então este é irracional.
Agora, existem números que não tem como mostrar. Por exemplo, não daria pra mostrar que [tex3]\pi[/tex3] é irracional, por que, como eu não sei se [tex3]\pi[/tex3] é racional ou não, não tem uma forma de construir um polinômio de coeficientes inteiros com ele, condição necessária para aplicação. A menos que eu conheça alguma equação com [tex3]\pi[/tex3] que possa converter em um polinômio, assim como eu fiz para o [tex3]\sen(15^\circ)[/tex3] . Mas fica aí essa ferramenta.
Última edição: AnthonyC (Sex 25 Set, 2020 23:26). Total de 2 vezes.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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