Ensino Médio

Considere a equação [tex3]\sqrt{x+9}+\sqrt{2x+17}=12[/tex3] , sabendo que x representa o valor das raízes reais dessa equação, determine a soma dos valores de z, com Re z > 0, da equação [tex3]z^{4}=x-32[/tex3] .

a) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
b) [tex3]2\sqrt{2}[/tex3]
c) [tex3]4\sqrt{2}[/tex3]
d) 4
e) 16

[tex3]\sqrt{x+9}+\sqrt{2x+17}=12[/tex3]
[tex3](\sqrt{2x+17})^2=(12-\sqrt{x+9})^2[/tex3]
[tex3]2x+17=144-24\sqrt{x+9}+x+9[/tex3]
[tex3](24\sqrt{x+9})^2=(136-x)^2[/tex3]
[tex3]576(x+9)=18496-272x+x^2[/tex3]
[tex3]x^2-848x+13312=0[/tex3]
Resolvendo a equação e testando as raízes na expressão original, vemos que apenas [tex3]x=16[/tex3] satisfaz a igualdade.

Assim, [tex3]z^4=16-32[/tex3]
[tex3]z^4=-16[/tex3]
Escrevendo na forma trigonométrica:
[tex3]z^4=16(\cos \pi+i\sen \pi)[/tex3] .

Pela fórmula de Moivre:
[tex3]z=\sqrt[4]{16} \left [\cos \left(\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)+i\sen \left(\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)\right][/tex3] , com k de 0 até 3.

Perceba que os argumentos de z serão os simétricos de [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3] , ou seja, [tex3]\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}[/tex3] .
As raízes que têm parte real positiva são [tex3]\sqrt{2}+i\sqrt{2}[/tex3] e [tex3]\sqrt{2}-i\sqrt{2}[/tex3] .

Dessa forma, a soma pedida será [tex3]\sqrt{2}+i\sqrt{2}+\sqrt{2}-i\sqrt{2}=\boxed{2\sqrt{2}}[/tex3]

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