b) Existem quantos números pares satisfazendo a condição "a"?
Resposta
a) 9^n
b) [tex3](9^n-(-1)^n)/2[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Médio ⇒ (Rufino) Recorrência em combinatória Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
Deleted User 23699
- Última visita: 31-12-69
Set 2020
22
15:15
(Rufino) Recorrência em combinatória
a) Ache o número de inteiros positivos com n algarismos nos quais algarismos adjacentes não sejam iguais.
b) Existem quantos números pares satisfazendo a condição "a"?
a) 9^n
b) [tex3](9^n-(-1)^n)/2[/tex3]
b) Existem quantos números pares satisfazendo a condição "a"?
a) 9^n
b) [tex3](9^n-(-1)^n)/2[/tex3]
-
παθμ
- Mensagens: 948
- Registrado em: 08 Abr 2023, 17:28
- Última visita: 06-05-24
- Localização: Evanston, IL
- Agradeceu: 1 vez
- Agradeceram: 21 vezes
Out 2023
19
19:17
Re: (Rufino) Recorrência em combinatória
a) Seja [tex3]a_n[/tex3]
essa quantidade. Imagine montar um número com essa propriedade. Primeiro escolhemos as [tex3]n-1[/tex3]
primeiras casas, que é simplesmente escolher um dos [tex3]a_{n-1}[/tex3]
números. Então, escolhemos a última casa.
Para escolher a última casa, sempre teremos 9 opções (os 10 algarismos menos o último algarismo de [tex3]a_{n-1}[/tex3] ), logo temos [tex3]a_n=9a_{n-1} \Longrightarrow a_n=A \cdot 9^n[/tex3]
O caso base é [tex3]a_1=9,[/tex3] que são simplesmente os 9 inteiros positivos de 1 algarismo. Então [tex3]A=1 \Longrightarrow \boxed{a_n=9^n} [/tex3]
Esse item também pode ser facilmente resolvido pelo princípio multiplicativo.
b) Seja [tex3]p_n[/tex3] o número de pares e [tex3]i_n[/tex3] o número de ímpares.
Imagine formar um dos números pares pelo mesmo procedimento anterior. Mas agora deve-se separar em casos. Seja o "sub-número" um dos [tex3]a_{n-1}[/tex3] números escolhidos para preencher as posições [tex3][1, \; n-1].[/tex3] :
Caso 1: O sub-número é par.
Nesse caso, veja que sempre teremos 4 opções para a última casa (os 5 algarismos pares menos o último algarismo do sub-número), ou seja, esse caso contribui com [tex3]4p_{n-1}[/tex3] números.
Caso 2: O sub-número é impar.
Nesse caso, sempre teremos 5 opções para a última casa (os 5 algarismos pares). Ou seja, esse caso contribui com [tex3]5i_{n-1}[/tex3] números.
Portanto: [tex3]p_n=4p_{n-1}+5i_{n-1} \Longrightarrow 5i_{n-1}=p_n-4p_{n-1}.[/tex3] (Eq. 1)
Com um raciocínio idêntico, podemos obter também [tex3]i_n=5p_{n-1}+4i_{n-1}.[/tex3] (Eq. 2)
Usando a primeira relação de recorrência, temos também [tex3]5i_n=p_{n+1}-4p_n.[/tex3] (Eq. 3)
Substituindo as equações 3 e 1 na 2, obtemos [tex3]p_{n+1}-8p_n-9p_{n-1}=0 \Longrightarrow x^2-8x-9=0 \Longrightarrow x_1=9, \; \; x_2=-1.[/tex3]
Portanto: [tex3]p_n=A \cdot 9^n+B(-1)^n.[/tex3]
Caso base n=1: Temos [tex3]p_1=4,[/tex3] que são os 4 números pares positivos de 1 algarismo, logo [tex3]9A-B=4.[/tex3] (Eq. 4)
Caso base n=2:
Caso 1: O último algarismo é 0. Nesse caso, temos 9 opções para o número.
Caso 2: O último algarismo não é zero. Nesse caso, temos 4 opções para o algarismo das unidades e veja que sempre teremos 8 opções para o algarismo das dezenas (os 10 algarismos menos zero e menos o algarismo escolhido no primeiro passo). Então, para esse caso, são [tex3]8 \times 4=32[/tex3] números.
Ou seja, [tex3]p_2=32+9=41 \Longrightarrow 81A+B=41.[/tex3] (Eq. 5)
Resolvendo as equações 4 e 5 obtemos [tex3]A=B=\frac{1}{2},[/tex3] e finalmente [tex3]\boxed{p_n=\frac{9^n+(-1)^n}{2}}[/tex3]
O sinal do gabarito está trocado. O gabarito na verdade está mostrando [tex3]i_n,[/tex3] e não [tex3]p_n.[/tex3]
Para escolher a última casa, sempre teremos 9 opções (os 10 algarismos menos o último algarismo de [tex3]a_{n-1}[/tex3] ), logo temos [tex3]a_n=9a_{n-1} \Longrightarrow a_n=A \cdot 9^n[/tex3]
O caso base é [tex3]a_1=9,[/tex3] que são simplesmente os 9 inteiros positivos de 1 algarismo. Então [tex3]A=1 \Longrightarrow \boxed{a_n=9^n} [/tex3]
Esse item também pode ser facilmente resolvido pelo princípio multiplicativo.
b) Seja [tex3]p_n[/tex3] o número de pares e [tex3]i_n[/tex3] o número de ímpares.
Imagine formar um dos números pares pelo mesmo procedimento anterior. Mas agora deve-se separar em casos. Seja o "sub-número" um dos [tex3]a_{n-1}[/tex3] números escolhidos para preencher as posições [tex3][1, \; n-1].[/tex3] :
Caso 1: O sub-número é par.
Nesse caso, veja que sempre teremos 4 opções para a última casa (os 5 algarismos pares menos o último algarismo do sub-número), ou seja, esse caso contribui com [tex3]4p_{n-1}[/tex3] números.
Caso 2: O sub-número é impar.
Nesse caso, sempre teremos 5 opções para a última casa (os 5 algarismos pares). Ou seja, esse caso contribui com [tex3]5i_{n-1}[/tex3] números.
Portanto: [tex3]p_n=4p_{n-1}+5i_{n-1} \Longrightarrow 5i_{n-1}=p_n-4p_{n-1}.[/tex3] (Eq. 1)
Com um raciocínio idêntico, podemos obter também [tex3]i_n=5p_{n-1}+4i_{n-1}.[/tex3] (Eq. 2)
Usando a primeira relação de recorrência, temos também [tex3]5i_n=p_{n+1}-4p_n.[/tex3] (Eq. 3)
Substituindo as equações 3 e 1 na 2, obtemos [tex3]p_{n+1}-8p_n-9p_{n-1}=0 \Longrightarrow x^2-8x-9=0 \Longrightarrow x_1=9, \; \; x_2=-1.[/tex3]
Portanto: [tex3]p_n=A \cdot 9^n+B(-1)^n.[/tex3]
Caso base n=1: Temos [tex3]p_1=4,[/tex3] que são os 4 números pares positivos de 1 algarismo, logo [tex3]9A-B=4.[/tex3] (Eq. 4)
Caso base n=2:
Caso 1: O último algarismo é 0. Nesse caso, temos 9 opções para o número.
Caso 2: O último algarismo não é zero. Nesse caso, temos 4 opções para o algarismo das unidades e veja que sempre teremos 8 opções para o algarismo das dezenas (os 10 algarismos menos zero e menos o algarismo escolhido no primeiro passo). Então, para esse caso, são [tex3]8 \times 4=32[/tex3] números.
Ou seja, [tex3]p_2=32+9=41 \Longrightarrow 81A+B=41.[/tex3] (Eq. 5)
Resolvendo as equações 4 e 5 obtemos [tex3]A=B=\frac{1}{2},[/tex3] e finalmente [tex3]\boxed{p_n=\frac{9^n+(-1)^n}{2}}[/tex3]
O sinal do gabarito está trocado. O gabarito na verdade está mostrando [tex3]i_n,[/tex3] e não [tex3]p_n.[/tex3]
Editado pela última vez por παθμ em 19 Out 2023, 20:15, em um total de 2 vezes.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 1 Respostas
- 616 Exibições
-
Última mensagem por A13235378
-
- 1 Respostas
- 622 Exibições
-
Última mensagem por A13235378
-
- 11 Respostas
- 3148 Exibições
-
Última mensagem por csmarcelo
-
- 2 Respostas
- 1068 Exibições
-
Última mensagem por MateusQqMD
