Ensino Médio(Rufino) Princípio de Dirichlet Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Autor do Tópico
Deleted User 23699
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Set 2020 22 13:56

(Rufino) Princípio de Dirichlet

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Prove que, entre 7 reais y1 ... y7, podemos escolher yi e yj (i diferente de j) tais que
[tex3]0\leq \frac{y_i-y_j}{1+y_iy_j}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex3]




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Ittalo25
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Set 2020 22 15:14

Re: (Rufino) Princípio de Dirichlet

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Fazendo [tex3]y_i = tan(x_i) [/tex3] para [tex3]1 \leq i \leq 7 [/tex3] e [tex3]0\leq x_i < 90^o \space \space \cup \space \space 270^o< x_i \leq 360^o[/tex3]

Então:

[tex3]0\leq tan(x_i-x_j) \leq \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex3]

Ou seja [tex3]0^o \leq x_i-x_j \leq 30^o[/tex3]

Dividindo o domínio de [tex3]x_i [/tex3] em 6 caixas de tamanho 30 graus:

[tex3](0^o,30^o) , (30^o,60^o) , (60^o,90^o) , (270^o, 300^o), (300^o,330^o), (330^o,360^o) [/tex3]

Como são 7 números para 6 caixas, então pelo menos 2 números estarão na mesma caixa. Ou seja, a diferença entre eles terá tamanho menor ou igual a 30 graus.



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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