Dados os pontos A= ( –1; 0) e B = ( 5; 0) do plano cartesiano R2, determine o lugar geométrico
dos pontos desse plano que satisfazem a seguinte condição: a distância de um ponto qualquer do
lugar geométrico ao ponto A é o dobro da distância do mesmo ponto ao ponto B.
Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica Tópico resolvido
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14:44
Geometria Analítica
Última edição: caju (Ter 16 Dez, 2008 15:17). Total de 1 vez.
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Re: Geometria Analítica
Hola Kildo.
Seja um ponto [tex3]P(x,y)[/tex3] que pertença ao lugar geométrico.
A distância do ponto [tex3]P[/tex3] ao ponto [tex3]A (dPA)[/tex3] é:
[tex3]dPA =\sqrt{((x-(-1))^2 + (y-0)^2)}=\sqrt{((x+1)^2 + y^2)}[/tex3]
A distância do ponto [tex3]P[/tex3] ao ponto [tex3]B (dPB)[/tex3] é
[tex3]dPB =\sqrt{((x-5)^2 + (y-0)^2)} =\sqrt{((x-5)^2 + y^2)}[/tex3]
Mas, de acordo com o enunciado, [tex3]dPA = 2*dPB[/tex3]
Logo:
[tex3]sqrt{((x+1)^2 + y^2)} = 2*sqrt{((x-5)^2 + y^2)}[/tex3]
[tex3](x+1)^2 + y^2 = 4*((x-5)^2 + y^2)[/tex3]
[tex3]x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4x^2 - 40x + 100 + 4y^2[/tex3]
[tex3]3x^2 - 42x + 3y^2 = -99[/tex3]
[tex3]x^2 - 14x + y^2 = -33[/tex3]
[tex3](x^2 -14x + 49) - 49 + y^2 = -33[/tex3]
[tex3](x-7)^2 + y^2 = 49-33 = 16[/tex3]
[tex3](x-7)^2 + y^2 = 16[/tex3]
Assim, o lugar geométrico é uma circunferência de centro [tex3]C(7;0)[/tex3] e raio [tex3]4[/tex3]
Solução dada por Erick S.
Seja um ponto [tex3]P(x,y)[/tex3] que pertença ao lugar geométrico.
A distância do ponto [tex3]P[/tex3] ao ponto [tex3]A (dPA)[/tex3] é:
[tex3]dPA =\sqrt{((x-(-1))^2 + (y-0)^2)}=\sqrt{((x+1)^2 + y^2)}[/tex3]
A distância do ponto [tex3]P[/tex3] ao ponto [tex3]B (dPB)[/tex3] é
[tex3]dPB =\sqrt{((x-5)^2 + (y-0)^2)} =\sqrt{((x-5)^2 + y^2)}[/tex3]
Mas, de acordo com o enunciado, [tex3]dPA = 2*dPB[/tex3]
Logo:
[tex3]sqrt{((x+1)^2 + y^2)} = 2*sqrt{((x-5)^2 + y^2)}[/tex3]
[tex3](x+1)^2 + y^2 = 4*((x-5)^2 + y^2)[/tex3]
[tex3]x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4x^2 - 40x + 100 + 4y^2[/tex3]
[tex3]3x^2 - 42x + 3y^2 = -99[/tex3]
[tex3]x^2 - 14x + y^2 = -33[/tex3]
[tex3](x^2 -14x + 49) - 49 + y^2 = -33[/tex3]
[tex3](x-7)^2 + y^2 = 49-33 = 16[/tex3]
[tex3](x-7)^2 + y^2 = 16[/tex3]
Assim, o lugar geométrico é uma circunferência de centro [tex3]C(7;0)[/tex3] e raio [tex3]4[/tex3]
Solução dada por Erick S.
Última edição: paulo testoni (Sex 19 Dez, 2008 09:12). Total de 1 vez.
Paulo Testoni
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