Olá,
Vamos lá! Vai dar um trabalhinho.
Vou te dar uns dicas , depois você usa ok? Caso nao consiga alguma letra , eu mando depois, mas preciso que tente , blz?
1) Voce conhece a expansao [tex3](1+x)^{n}[/tex3]
, certo?
Voce usa para dois casos, [tex3]x=i [/tex3]
e [tex3]x= -i[/tex3]
Voce verá que os coeficientes alternarão de sinal positivo e negativo.
Sabemos que [tex3](1+i)^n=\sqrt{2}^ncis(\frac{n\pi}{4})[/tex3]
e [tex3](1-i)^n=(\sqrt{2}^ncis\frac{n7\pi}{4})[/tex3]
Se vc somar as duas expressoes , você verá que eliminará os binomiais impares , ou seja sobra apenas os pares , alternando os sinais :
[tex3]\sqrt{2}^ncis(\frac{n\pi}{4})+\sqrt{2}^ncis(\frac{7n\pi}{4})=2\begin{pmatrix}
n \\
0 \\
\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}
n \\
2 \\
\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}
n \\
4 \\
\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}
n \\
6 \\
\end{pmatrix}+...[/tex3]
Que é justamente duas vezes a primeira expressao.
Agora vamos desenvolver a parte esquerda:
[tex3]\sqrt{2}^ncis(\frac{n\pi}{4})+\sqrt{2}^ncis(\frac{7n\pi}{4})=2^{\frac{n}{2}}(cis(a)+cis(b))[/tex3]
Lembrando que estamos analisando a parte real do numero.
[tex3]cis(a)+cis(b)=cosa+cosb+i(sena+senb)[/tex3]
Como a+ b = 360 .n , concluimos que cosa = cosb = 2cos n . 45
Logo pegaremos apenas o cosseno , já que representa a parte real:
Chamaremos S a expressao da letra a)
Logo ,
[tex3]2S=2^{\frac{n}{2}}2cos(\frac{n\pi}{4})[/tex3]
Dividindo por dois , encontrará o resultado.
A letra B , usa a mesma logica, dessa vez subtraia uma da outra as expressoes iniciais , [tex3](1+i)^{n}[/tex3]
e [tex3](1-i)^{n}[/tex3]
Eliminando assim os fatores pares , sobrando os impares que representa a parte imaginaria.
A letra C
Temos:
[tex3](1+1)^{n}=2^n=\begin{pmatrix}
n \\
0 \\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
n \\
1 \\
\end{pmatrix}+...[/tex3]
e
[tex3](1-1)^{n}=0=\begin{pmatrix}
n \\
0 \\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
n \\
1 \\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
n \\
2 \\
\end{pmatrix}-...[/tex3]
Somando as duas , e dividindo por 2 , temos que:
[tex3]2^{n-1}=\begin{pmatrix}
n \\
0 \\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
n \\
2 \\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
n \\
4 \\
\end{pmatrix}+...[/tex3]
Logo associando esse novo resultando com a expressao da letra A , voce encontrará o gabarito.
Letra D:
Voce faz o processo inverso da letra C , ou seja subtrai uma da outra e depois associa com a letra B.
Letra E
Usa a parte imaginaria do desenvolvimento de
[tex3](1+\frac{1}{\sqrt{3}}i)^{n}[/tex3]
Sabendo que essa expressao resulta em :
[tex3](1+\frac{1}{\sqrt{3}}i)^{n}=\frac{2}{\sqrt{3}}cis(\frac{\pi}{6})[/tex3]
Qualquer coisa estou a disposicao.
