Ensino Médio ⇒ (Rufino) Binômio de Newton Tópico resolvido

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Prove que se cada coeficiente na expansão da expressão [tex3]x(1+x)^n[/tex3]

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[tex3]x(1+x)^n[/tex3]

em potências de x é dividido pelo expoente da correspondente potência, então a soma dos quocientes obtidos é igual a [tex3]\frac{2^{n+1}-1}{n+1}[/tex3]

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[tex3]\frac{2^{n+1}-1}{n+1}[/tex3]

[παθμ]

[tex3](1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k \Longrightarrow x(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k+1}.[/tex3]

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[tex3](1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k \Longrightarrow x(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k+1}.[/tex3]

Logo, a soma em questão é [tex3]S_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}.[/tex3]

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[tex3]S_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}.[/tex3]

Veja que [tex3]\frac{n+1}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}=\binom{n+1}{k+1} \Longrightarrow \frac{1}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k+1},[/tex3]

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[tex3]\frac{n+1}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}=\binom{n+1}{k+1} \Longrightarrow \frac{1}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k+1},[/tex3]

então:

[tex3]S_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k+1}.[/tex3]

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[tex3]S_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k+1}.[/tex3]

Veja também que [tex3]\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k+1}=\left[\binom{n+1}{0}+\binom{n+1}{1}+...+\binom{n+1}{n+1}\right]-\binom{n+1}{0}=2^{n+1}-1,[/tex3]

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[tex3]\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k+1}=\left[\binom{n+1}{0}+\binom{n+1}{1}+...+\binom{n+1}{n+1}\right]-\binom{n+1}{0}=2^{n+1}-1,[/tex3]

então:

[tex3]S_n=\frac{2^{n+1}-1}{n+1},[/tex3]

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[tex3]S_n=\frac{2^{n+1}-1}{n+1},[/tex3]

C.Q.D