Prove que:
a) [tex3]1-\begin{pmatrix}
n \\
1\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
n \\
2 \\
\end{pmatrix}-...+(-1)^k\begin{pmatrix}
n \\
k \\
\end{pmatrix}=(-1)^k\begin{pmatrix}
n-1 \\
k \\
\end{pmatrix}[/tex3]
b) [tex3]\sum_{r=1}^{n}r\begin{pmatrix}
n \\
r \\
\end{pmatrix}^2=\frac{(2n-1)!}{(n-1)!^2}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ (Rufino) Binômio de Newton Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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- Última visita: 31-12-69
Set 2020
17
09:52
Re: (Rufino) Binômio de Newton
a)
A prová será por Indução em [tex3]k.[/tex3]
O caso base é para [tex3]k = 1[/tex3] e, de fato,
De fato,
Dessa forma, a demonstração está concluída pela Princípio da Indução Finita.
A prová será por Indução em [tex3]k.[/tex3]
O caso base é para [tex3]k = 1[/tex3] e, de fato,
[tex3]1 - {n\choose 1} = 1 - n = {(-1)}(n-1)= {(-1)}^1{n-1 \choose 1}[/tex3]
Suponha, por hipótese de Indução, a validade para [tex3]k = a.[/tex3]
Vamos ao passo indutivo, ou seja, mostrar que a validade para [tex3]a[/tex3]
implica na validade para [tex3]a+1.[/tex3]
Por hipótese de Indução temos que
[tex3]1- {n\choose 1} + {n\choose 2}- \dots + {(-1)}^a{n \choose a} = {(-1)}^a{n-1\choose a}[/tex3]
Logo,
[tex3]1- {n\choose 1} + {n\choose 2}- \dots + {(-1)}^a{n \choose a} +{(-1)}^{a+1}{n\choose a+1} \\ = {(-1)}^a{n-1\choose a}+{(-1)}^{a + 1}{n\choose a+1} \\ = {(-1)}^{a+1}\left[ {n\choose a+1} - {n-1\choose a} \right][/tex3]
Então, basta provar que
[tex3]{n\choose a+1} - {n-1\choose a} = {n - 1\choose a+1} \\ \Leftrightarrow {n - 1\choose a+1} + {n-1\choose a} = {n\choose a+1} [/tex3]
A última expressão é exatamente a relação de Stiffel.
Resposta
De fato,
[tex3]{n - 1\choose a+1} + {n-1\choose a} = {n\choose a+1} \\ \Leftrightarrow \dfrac{(n-1)!}{ (a+1)!\cdot (n-a-2)!} + \dfrac{(n-1)!}{a! \cdot (n-a-1)!} = \dfrac{n!}{(a+1)! \cdot (n-a-1)!} \\ \Leftrightarrow \cancel{\dfrac{(n-1)!}{a! \cdot (n-a-2)!}} \cdot \left[ \dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{n-a-1} \right]= \cancel{\dfrac{(n-1)!}{a! \cdot (n-a-2)!}}\cdot \left( \dfrac{n}{(a+1)(n-a-1)} \right) \\ \Leftrightarrow \dfrac{n}{(a+1)(n-a-1)} = \dfrac{n}{(a+1)(n-a-1)}[/tex3]
A última expressão é claramente verdade, o que conclui a prova desta relação.
Última edição: Deleted User 24633 (Qui 17 Set, 2020 09:53). Total de 1 vez.
Set 2020
17
11:00
Re: (Rufino) Binômio de Newton
b)
Pela relaçao de Vandermont:
[tex3]\begin{pmatrix}
h\\
n \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
m \\
0\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
h \\
n-1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
m \\
1 \\
\end{pmatrix}+...+\begin{pmatrix}
h \\
0 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
m \\
n\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
h+m \\
n \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Outra relaçao que esqueci o nome:
[tex3]\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}=\frac{n}{p}\begin{pmatrix}
n-1 \\
p-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Assim,
[tex3]r\begin{pmatrix}
n \\
r \\
\end{pmatrix}=n\begin{pmatrix}
n-1 \\
r-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Portanto:
[tex3]n\begin{pmatrix}
n-1 \\
r-1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
n \\
r \\
\end{pmatrix}=n\begin{pmatrix}
n-1 \\
r-1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
n \\
n-r \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Perceba que a soma dos dois de baixo é constante (n-r+r-1 = n-1)
Logo colocando n em evidencia e aplicando vandermont , encontramos:
[tex3]n\begin{pmatrix}
2n-1 \\
n-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Agora só usar o conceito de combinaçao que voce chegará no gabarito.
Pela relaçao de Vandermont:
[tex3]\begin{pmatrix}
h\\
n \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
m \\
0\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
h \\
n-1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
m \\
1 \\
\end{pmatrix}+...+\begin{pmatrix}
h \\
0 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
m \\
n\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
h+m \\
n \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Outra relaçao que esqueci o nome:
[tex3]\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}=\frac{n}{p}\begin{pmatrix}
n-1 \\
p-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Assim,
[tex3]r\begin{pmatrix}
n \\
r \\
\end{pmatrix}=n\begin{pmatrix}
n-1 \\
r-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Portanto:
[tex3]n\begin{pmatrix}
n-1 \\
r-1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
n \\
r \\
\end{pmatrix}=n\begin{pmatrix}
n-1 \\
r-1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
n \\
n-r \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Perceba que a soma dos dois de baixo é constante (n-r+r-1 = n-1)
Logo colocando n em evidencia e aplicando vandermont , encontramos:
[tex3]n\begin{pmatrix}
2n-1 \\
n-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Agora só usar o conceito de combinaçao que voce chegará no gabarito.
"O que sabemos é uma gota , o que ignoramos é um oceano." Isaac Newton
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