Olá:
a) Usaremos a seguinte relaçao que esqueci o nome
[tex3]\begin{pmatrix}
n+ 1\\
p+1 \\
\end{pmatrix}=\frac{n+1}{p+1}\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Logo,
[tex3]\frac{1}{p+1}\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}=\frac{1}{n+1}\begin{pmatrix}
n+1 \\
p+1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Substituindo e colocando [tex3]\frac{1}{n+1}[/tex3]
em evidencia:
[tex3]\frac{1}{n+1}\sum_{p=1}^{n}(-1)^{p-1}\begin{pmatrix}
n+1 \\
p+1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3](-1)^{p-1}(-1)^2=(-1)^{p+1}[/tex3]
Logo esse somatorio pode ser reescrito como:
[tex3](1-1)^{n+1}-[(-1)^0\begin{pmatrix}
n+1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+(-1)^1\begin{pmatrix}
n+1 \\
1\\
\end{pmatrix}]=0-[1-(n+1)]=n[/tex3]
Logo a expressao ficará:
[tex3]\frac{n}{n+1}[/tex3]
b) Voce pode utilizar a seguinte ideia:
[tex3](1+x)^{n}=\sum_{p=0}^{n}\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}x^{p}[/tex3]
[tex3](1-x)^{n}=\sum_{p=0}^{n}\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}(-x)^{p}[/tex3]
Multiplicando as duas expressoes:
[tex3](1-x^{2})^n=[/tex3]
produto desses dois somatorios.
Agora preste atenção!
Em cada somatorio voce pega dois termos complementares de acordo com o que a questao pede:
Vou dar um exemplo:
Voce pega de 1+x o termo [tex3]\begin{pmatrix}
n \\
1 \\
\end{pmatrix}x[/tex3]
Qual o seu complementar?
2k -1 , certo?
Ou seja da subtraçao 1-x . voce pega o termo:
[tex3]\begin{pmatrix}
n \\
2k-1 \\
\end{pmatrix}(-x)^{2k-1}[/tex3]
(lembrando que vale o vice versa , ou seja , escolher o mesmo termo de 1+x em 1-x)
Multiplicando as duas:
[tex3]\begin{pmatrix}
n \\
1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
n \\
2k-1 \\
\end{pmatrix}x.(-x)^{2k-1}=\begin{pmatrix}
n \\
1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
n \\
2k-1 \\
\end{pmatrix}(-1)^{2k-1}x^{2k}[/tex3]
Perceba que cada dupla haverá o termo [tex3]x^{2k}[/tex3]
Conclusao
De [tex3](1-x^2)^{n}[/tex3]
devemos pegar o coeficiente do termo [tex3]x^{2k}[/tex3]
, que no caso é :
[tex3]\begin{pmatrix}
n \\
k \\
\end{pmatrix}(-x^2)^k=\begin{pmatrix}
n \\
k \\
\end{pmatrix}(-1)^kx^{2k}[/tex3]
c) Voce usa a mesma ideia ,
Monta uma soma e diferença:
[tex3](1+x)^{2n}[/tex3]
e [tex3](1-x)^{2n}[/tex3]
Dessa vez , voce agrupa os termos iguais e encontrará a expressao.
Depois retira o coeficiente certo do produto dessas duas somas.
Caso nao consiga , eu mando depois '-'
