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(Rufino) Binômio de Newton
Enviado: Qua 16 Set, 2020 11:55
por Deleted User 23699
Demonstrar que o coeficiente de [tex3]x^p[/tex3]
no desenvolvimento de [tex3](1+x+2x^2+3x^3+...+nx^n)^2,n\geq p[/tex3]
é dado por [tex3](p^3+11p)/6[/tex3]
Re: (Rufino) Binômio de Newton
Enviado: Qua 16 Set, 2020 15:19
por A13235378
Olá:
[tex3](1+x+2x^2+3x^3+...+nx^n)(1+x+2x^2+3x^3+...+nx^n)
[/tex3]
Pegando dois termos :
[tex3]ax^{a}[/tex3]
e [tex3]bx^b[/tex3]
Temos que
a+b = p
Logo as soluçoes inteiras nao negativas são:
[tex3](0,p); (1,p-1); (2,p-2) ;(3,p-3); ... (\frac{p}{2} -1 , p-(\frac{p}{2}-1) ); (\frac{p}{2},\frac{p}{2}) ;(p-(\frac{p}{2}-1),\frac{p}{2}-1); ... (p-2,2); (p-1,1);(p,0)[/tex3]
Perceba que é um espelho , onde o termo central é o par [tex3](\frac{p}{2},\frac{p}{2})[/tex3]
Logo o coeficiente será dado por:
[tex3]0.p + 1(p-1) + 2(p-2) + 3(p-3 ) + ... + (\frac{p}{2} - 1) (p-(\frac{p}{2}-1))[/tex3]
Agrupando:
[tex3]p(1+2+3+...+\left(\frac{p}{2}-1\right))[/tex3]
e [tex3]-(1^2+2^{2}+3^2+...+\left(\frac{p}{2}-1\right)^2)[/tex3]
[tex3]p\frac{(p/2-1+1)(p/2-1)}{2}=p\frac{\frac{p^2}{4}-\frac{p}{2}}{2}=p\frac{p^2-2p}{8}=\frac{p^3-2p^2}{8}[/tex3]
Lembrando que a soma de quadrados de 1 até n é dado pela formula:
[tex3]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex3]
Logo ,
[tex3](1^2+2^{2}+3^3+...\left(\frac{p}{2}-1\right)^2)=\frac{\left(\frac{p}{2}-1\right)\left(\frac{p}{2}\right)\left(p-2+1\right)}{6}=\frac{(p-2)(p)(p-1)}{24}=\frac{p^3-3p^2+2p}{24}[/tex3]
Juntando as duas expressoes
[tex3]\frac{p^3-2p^2}{8}-\frac{p^3-3p^2+2p}{24}=\frac{2p^3+3p^2-2p}{24}[/tex3]
Multiplicando por 2:
[tex3]\frac{2p^3+3p^2-2p}{12}[/tex3]
Somando com o termo [tex3]p^{2}/4[/tex3]
[tex3]\frac{2p^3-2p}{12}=\frac{p^3-p}{6}[/tex3]
Nao sei onde estou errando. Se conseguir achar um erro de conta , agradeço
EDIT:
ACHEI!
Esqueci dos termos independentes (1) que no caso é o par (0,p)
[tex3](1+...px^{p}+...)(1+...+px^p+...)[/tex3]
px^p . 1 = px^p
Sao duas vezes:
2p
Somando com a expressao anterior:
[tex3]\frac{p^3-p}{6}+2p=\frac{p^3+11p}{6}[/tex3]