Ensino Médio(Rufino) Binômio de Newton

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Zhadnyy
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 964
Registrado em: Sex 01 Nov, 2019 11:04
Última visita: 14-09-20
Contato:
Set 2020 16 11:55

(Rufino) Binômio de Newton

Mensagem não lida por Zhadnyy »

Demonstrar que o coeficiente de [tex3]x^p[/tex3] no desenvolvimento de [tex3](1+x+2x^2+3x^3+...+nx^n)^2,n\geq p[/tex3] é dado por [tex3](p^3+11p)/6[/tex3]




Avatar do usuário
A13235378
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 474
Registrado em: Ter 12 Mai, 2020 13:50
Última visita: 19-09-20
Set 2020 16 15:19

Re: (Rufino) Binômio de Newton

Mensagem não lida por A13235378 »

Olá:

[tex3](1+x+2x^2+3x^3+...+nx^n)(1+x+2x^2+3x^3+...+nx^n)
[/tex3]


Pegando dois termos :

[tex3]ax^{a}[/tex3] e [tex3]bx^b[/tex3]

Temos que

a+b = p

Logo as soluçoes inteiras nao negativas são:

[tex3](0,p); (1,p-1); (2,p-2) ;(3,p-3); ... (\frac{p}{2} -1 , p-(\frac{p}{2}-1) ); (\frac{p}{2},\frac{p}{2}) ;(p-(\frac{p}{2}-1),\frac{p}{2}-1); ... (p-2,2); (p-1,1);(p,0)[/tex3]

Perceba que é um espelho , onde o termo central é o par [tex3](\frac{p}{2},\frac{p}{2})[/tex3]

Logo o coeficiente será dado por:

[tex3]0.p + 1(p-1) + 2(p-2) + 3(p-3 ) + ... + (\frac{p}{2} - 1) (p-(\frac{p}{2}-1))[/tex3]

Agrupando:

[tex3]p(1+2+3+...+\left(\frac{p}{2}-1\right))[/tex3] e [tex3]-(1^2+2^{2}+3^2+...+\left(\frac{p}{2}-1\right)^2)[/tex3]

[tex3]p\frac{(p/2-1+1)(p/2-1)}{2}=p\frac{\frac{p^2}{4}-\frac{p}{2}}{2}=p\frac{p^2-2p}{8}=\frac{p^3-2p^2}{8}[/tex3]

Lembrando que a soma de quadrados de 1 até n é dado pela formula:

[tex3]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex3]

Logo ,

[tex3](1^2+2^{2}+3^3+...\left(\frac{p}{2}-1\right)^2)=\frac{\left(\frac{p}{2}-1\right)\left(\frac{p}{2}\right)\left(p-2+1\right)}{6}=\frac{(p-2)(p)(p-1)}{24}=\frac{p^3-3p^2+2p}{24}[/tex3]

Juntando as duas expressoes

[tex3]\frac{p^3-2p^2}{8}-\frac{p^3-3p^2+2p}{24}=\frac{2p^3+3p^2-2p}{24}[/tex3]

Multiplicando por 2:

[tex3]\frac{2p^3+3p^2-2p}{12}[/tex3]

Somando com o termo [tex3]p^{2}/4[/tex3]

[tex3]\frac{2p^3-2p}{12}=\frac{p^3-p}{6}[/tex3]

Nao sei onde estou errando. Se conseguir achar um erro de conta , agradeço

EDIT:

ACHEI!

Esqueci dos termos independentes (1) que no caso é o par (0,p)

[tex3](1+...px^{p}+...)(1+...+px^p+...)[/tex3]

px^p . 1 = px^p

Sao duas vezes:

2p

Somando com a expressao anterior:

[tex3]\frac{p^3-p}{6}+2p=\frac{p^3+11p}{6}[/tex3]

Última edição: A13235378 (Qua 16 Set, 2020 16:08). Total de 3 vezes.


"O que sabemos é uma gota , o que ignoramos é um oceano." Isaac Newton

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (Rufino) Binômio de Newton
    por Zhadnyy » » em Ensino Médio
    1 Respostas
    42 Exibições
    Última msg por Ittalo25
  • Nova mensagem (Rufino) Binômio de Newton
    por Zhadnyy » » em Ensino Médio
    1 Respostas
    35 Exibições
    Última msg por A13235378
  • Nova mensagem (Rufino) Binômio de Newton
    por Zhadnyy » » em Ensino Médio
    2 Respostas
    40 Exibições
    Última msg por A13235378
  • Nova mensagem (Rufino) Binômio de Newton
    por Zhadnyy » » em Ensino Médio
    0 Respostas
    24 Exibições
    Última msg por Zhadnyy
  • Nova mensagem (Rufino) Binômio de Newton
    por Zhadnyy » » em Ensino Médio
    1 Respostas
    44 Exibições
    Última msg por A13235378

Voltar para “Ensino Médio”