Ensino Médio ⇒ (Rufino) Binômio de Newton Tópico resolvido

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Calcule a soma:
[tex3]\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{p+1}\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{p+1}\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Resposta

---

[tex3](3^{n+1}-1)/(n+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](3^{n+1}-1)/(n+1)[/tex3]

[Ittalo25]

Relação de Fermat para binômios: [tex3]\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix} \cdot \frac{n-p}{p+1} = \begin{pmatrix}
n \\
p+1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix} \cdot \frac{n-p}{p+1} = \begin{pmatrix}
n \\
p+1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

A demonstração é bem óbvia.
Então:

[tex3]\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{p+1}\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{p+1}\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{n-p}\begin{pmatrix}
n \\
p+1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{n-p}\begin{pmatrix}
n \\
p+1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{n-p} \cdot \frac{n!}{(p+1)! \cdot (n-p-1)!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{n-p} \cdot \frac{n!}{(p+1)! \cdot (n-p-1)!}[/tex3]

[tex3]\sum_{p=1}^{n}2^{p+1} \cdot \frac{n!}{(p+1)! \cdot (n-p)!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{p=1}^{n}2^{p+1} \cdot \frac{n!}{(p+1)! \cdot (n-p)!}[/tex3]

[tex3]\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{n+1} \cdot \frac{(n+1)!}{(p+1)! \cdot (n-p)!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{n+1} \cdot \frac{(n+1)!}{(p+1)! \cdot (n-p)!}[/tex3]

[tex3]\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{n+1} \cdot \begin{pmatrix}
n+1 \\
p+1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{n+1} \cdot \begin{pmatrix}
n+1 \\
p+1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{n+1}\sum_{p=1}^{n}2^{p+1} \cdot \begin{pmatrix}
n+1 \\
p+1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{n+1}\sum_{p=1}^{n}2^{p+1} \cdot \begin{pmatrix}
n+1 \\
p+1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]\frac{ (2+1)^{n+1}-2\cdot \begin{pmatrix}
n+1 \\
1 \\
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
n+1 \\
0 \\
\end{pmatrix}}{n+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ (2+1)^{n+1}-2\cdot \begin{pmatrix}
n+1 \\
1 \\
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
n+1 \\
0 \\
\end{pmatrix}}{n+1}[/tex3]

[tex3]\frac{ 3^{n+1}-2\cdot (n+1) - 1}{n+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ 3^{n+1}-2\cdot (n+1) - 1}{n+1}[/tex3]

[tex3]\boxed{ \frac{ 3^{n+1} - 1}{n+1}- 2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{ \frac{ 3^{n+1} - 1}{n+1}- 2}[/tex3]