Ensino Médio ⇒ (Rufino) Função máximo inteiro Tópico resolvido

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Prove que para todo inteiro positivo n

[tex3]\lfloor{\frac{n}{3}}\rfloor+\lfloor{\frac{n+2}{6}}\rfloor+\lfloor{\frac{n+4}{6}}\rfloor=\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor+\lfloor{\frac{n+3}{6}}\rfloor[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lfloor{\frac{n}{3}}\rfloor+\lfloor{\frac{n+2}{6}}\rfloor+\lfloor{\frac{n+4}{6}}\rfloor=\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor+\lfloor{\frac{n+3}{6}}\rfloor[/tex3]

[AnthonyC]

Como [tex3]n[/tex3] é um inteiro, então podemos escrevê-lo da forma [tex3]n=6k+r[/tex3], sendo [tex3]0\leq r \lt6[/tex3]. Considerando então o lado esquerdo da equação, que chamarei de [tex3]E[/tex3], e o lado direito, que chamarei de [tex3]D[/tex3], temos:

[tex3]\left\lfloor{\frac{n}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{n+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{n+4}{6}}\right\rfloor=E=\left\lfloor{\frac{6k+r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{6k+r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{6k+r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left\lfloor{\frac{n}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{n+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{n+4}{6}}\right\rfloor=E=\left\lfloor{\frac{6k+r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{6k+r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{6k+r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]

[tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]

[tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]

[tex3]\left\lfloor{\frac{n}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{n+3}{6}}\right\rfloor=D=\left\lfloor{\frac{6k+r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{6k+r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left\lfloor{\frac{n}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{n+3}{6}}\right\rfloor=D=\left\lfloor{\frac{6k+r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{6k+r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]

[tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]

Antes de prosseguir irei provar uma propriedade que utilizaremos:

[tex3](I)[/tex3]: Seja [tex3]A\in\mathbb Z[/tex3] e [tex3]0\leq a\lt 1[/tex3]. Então [tex3]\left\lfloor A+a\right\rfloor=A[/tex3]

Demonstração:

Resposta

---

Seja [tex3]A\in\mathbb Z[/tex3] e [tex3]0\leq a\lt 1[/tex3]. Logo:
[tex3]0\leq a\lt 1[/tex3]
[tex3]A\leq A+a\lt A+ 1[/tex3]
Como [tex3]A\in \mathbb{Z}[/tex3], então [tex3]A+1\in \mathbb{Z}[/tex3]. Assim, [tex3]A+a[/tex3] está localizado entre dois inteiros consecutivos. Como [tex3]A+a[/tex3] é estritamente menor que [tex3]A+1[/tex3], então o maior inteiro menor que [tex3]A+a[/tex3] á o próprio [tex3]A[/tex3], ou seja, [tex3]A=\max\{x\in \mathbb{Z}/ x\leq A+a\}[/tex3]. Como [tex3]\left\lfloor A+a\right\rfloor=\max\{x\in \mathbb{Z}/ x\leq A+a\}[/tex3], então:
[tex3]\left\lfloor A+a\right\rfloor=A[/tex3]
C.Q.D.

Outra propriedade que utilizaremos:

[tex3](II)[/tex3] Se [tex3]A\in\mathbb{Z}[/tex3], então [tex3]\lfloor A\rfloor=A[/tex3]

Vamos agora testar os possíveis casos de [tex3]r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r[/tex3]

:

• [tex3]r=0[/tex3]
  [tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  
  [tex3]E=\left\lfloor 2k\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{4}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]E=\left\lfloor 2k\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{4}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  
  Temos que [tex3]k\in \mathbb{Z}\implies 2k\in \mathbb{Z}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]k\in \mathbb{Z}\implies 2k\in \mathbb{Z}[/tex3]

  . Assim, utilizando [tex3](II)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](II)[/tex3]

  no primeiro termo e [tex3](I)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](I)[/tex3]

  nos remanescentes, obtemos:
  [tex3]E=2k+k+k=4k[/tex3]
  
  [tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  
  [tex3]D=\left\lfloor{3k}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{3}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]D=\left\lfloor{3k}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{3}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  
  Utilizando [tex3](II)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](II)[/tex3]

  no primeiro termo e [tex3](I)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](I)[/tex3]

  temos:
  [tex3]D=3k+k=4k[/tex3]
  
  Logo, [tex3]E=D[/tex3]
  
  
• [tex3]r=1[/tex3]
  [tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]
  [tex3]E=\left\lfloor 2k+\frac{1}{3}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{3}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{5}{6}}\right\rfloor[/tex3]
  Utilizando [[tex3](I)[/tex3], obtemos:
  [tex3]E=2k+k+k=4k[/tex3]
  
  [tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]
  [tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{1}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{4}{6}}\right\rfloor[/tex3]
  Utilizando [tex3](I)[/tex3] temos:
  [tex3]D=3k+k=4k[/tex3]
  
  Logo, [tex3]E=D[/tex3]
• [tex3]r=2[/tex3]
  [tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  
  [tex3]E=\left\lfloor 2k+\frac{2}{3}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{4}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{6}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]E=\left\lfloor 2k+\frac{2}{3}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{4}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{6}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  
  [tex3]E=\left\lfloor 2k+\frac{2}{3}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{4}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+1}\right\rfloor[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]E=\left\lfloor 2k+\frac{2}{3}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{4}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+1}\right\rfloor[/tex3]

  
  Utilizando [tex3](I)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](I)[/tex3]

  e [tex3](II)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](II)[/tex3]

  , obtemos:
  [tex3]E=2k+k+k+1=4k+1[/tex3]
  
  [tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  
  [tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{2}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{5}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{2}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{5}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  
  [tex3]D=\left\lfloor{3k+1}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{5}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]D=\left\lfloor{3k+1}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{5}{6}}\right\rfloor[/tex3]

  
  Utilizando [tex3](I)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](I)[/tex3]

  e [tex3](II)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](II)[/tex3]

  , temos:
  [tex3]D=3k+1+k=4k+1[/tex3]
  
  Logo, [tex3]E=D[/tex3]
  
  
• [tex3]r=3[/tex3]
  [tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]
  [tex3]E=\left\lfloor 2k+\frac{3}{3}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{5}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{7}{6}}\right\rfloor[/tex3]
  [tex3]E=\left\lfloor 2k+1\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{5}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+1+\frac{1}{6}}\right\rfloor[/tex3]
  Utilizando [tex3](I)[/tex3], obtemos:
  [tex3]E=2k+1+k+k+1=4k+2[/tex3]
  
  [tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]
  [tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{3}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{6}{6}}\right\rfloor[/tex3]
  [tex3]D=\left\lfloor{3k+1+{1\over2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+1}\right\rfloor[/tex3]
  Utilizando [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3], temos:
  [tex3]D=3k+1+k+1=4k+2[/tex3]
  
  Logo, [tex3]E=D[/tex3]

Os outros casos são análogos, então deixarei como exercício para o leitor (vulgo, estou com preguiça). Enfim, assim, provamos que [tex3]E=D[/tex3] para todos os casos, o que prova a equação desejada.

Obs:

Resposta

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Solução não muito elegante, mas funciona