Como
[tex3]n[/tex3] é um inteiro, então podemos escrevê-lo da forma
[tex3]n=6k+r[/tex3], sendo
[tex3]0\leq r \lt6[/tex3]. Considerando então o lado esquerdo da equação, que chamarei de
[tex3]E[/tex3], e o lado direito, que chamarei de
[tex3]D[/tex3], temos:
[tex3]\left\lfloor{\frac{n}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{n+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{n+4}{6}}\right\rfloor=E=\left\lfloor{\frac{6k+r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{6k+r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{6k+r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]\left\lfloor{\frac{n}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{n+3}{6}}\right\rfloor=D=\left\lfloor{\frac{6k+r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{\frac{6k+r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]
Antes de prosseguir irei provar uma propriedade que utilizaremos:
[tex3](I)[/tex3]: Seja [tex3]A\in\mathbb Z[/tex3] e [tex3]0\leq a\lt 1[/tex3]. Então [tex3]\left\lfloor A+a\right\rfloor=A[/tex3]
Demonstração:
Outra propriedade que utilizaremos:
[tex3](II)[/tex3] Se [tex3]A\in\mathbb{Z}[/tex3], então [tex3]\lfloor A\rfloor=A[/tex3]
Vamos agora testar os possíveis casos de [tex3]r[/tex3]
:
-
[tex3]r=0[/tex3]
[tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]E=\left\lfloor 2k\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{4}{6}}\right\rfloor[/tex3]
Temos que [tex3]k\in \mathbb{Z}\implies 2k\in \mathbb{Z}[/tex3]
. Assim, utilizando [tex3](II)[/tex3]
no primeiro termo e [tex3](I)[/tex3]
nos remanescentes, obtemos:
[tex3]E=2k+k+k=4k[/tex3]
[tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]D=\left\lfloor{3k}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{3}{6}}\right\rfloor[/tex3]
Utilizando [tex3](II)[/tex3]
no primeiro termo e [tex3](I)[/tex3]
temos:
[tex3]D=3k+k=4k[/tex3]
Logo, [tex3]E=D[/tex3]
- [tex3]r=1[/tex3]
[tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]E=\left\lfloor 2k+\frac{1}{3}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{3}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{5}{6}}\right\rfloor[/tex3]
Utilizando [[tex3](I)[/tex3], obtemos:
[tex3]E=2k+k+k=4k[/tex3]
[tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{1}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{4}{6}}\right\rfloor[/tex3]
Utilizando [tex3](I)[/tex3] temos:
[tex3]D=3k+k=4k[/tex3]
Logo, [tex3]E=D[/tex3]
-
[tex3]r=2[/tex3]
[tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]E=\left\lfloor 2k+\frac{2}{3}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{4}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{6}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]E=\left\lfloor 2k+\frac{2}{3}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{4}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+1}\right\rfloor[/tex3]
Utilizando [tex3](I)[/tex3]
e [tex3](II)[/tex3]
, obtemos:
[tex3]E=2k+k+k+1=4k+1[/tex3]
[tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{2}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{5}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]D=\left\lfloor{3k+1}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{5}{6}}\right\rfloor[/tex3]
Utilizando [tex3](I)[/tex3]
e [tex3](II)[/tex3]
, temos:
[tex3]D=3k+1+k=4k+1[/tex3]
Logo, [tex3]E=D[/tex3]
- [tex3]r=3[/tex3]
[tex3]E=\left\lfloor{2k+\frac{r}{3}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+2}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+4}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]E=\left\lfloor 2k+\frac{3}{3}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{5}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{7}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]E=\left\lfloor 2k+1\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{5}{6}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+1+\frac{1}{6}}\right\rfloor[/tex3]
Utilizando [tex3](I)[/tex3], obtemos:
[tex3]E=2k+1+k+k+1=4k+2[/tex3]
[tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{r}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{r+3}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]D=\left\lfloor{3k+\frac{3}{2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+\frac{6}{6}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]D=\left\lfloor{3k+1+{1\over2}}\right\rfloor+\left\lfloor{k+1}\right\rfloor[/tex3]
Utilizando [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3], temos:
[tex3]D=3k+1+k+1=4k+2[/tex3]
Logo, [tex3]E=D[/tex3]
Os outros casos são análogos, então deixarei como exercício para o leitor (vulgo, estou com preguiça). Enfim, assim, provamos que
[tex3]E=D[/tex3] para todos os casos,
o que prova a equação desejada.
Obs:
