Se x é um número real e n um inteiro positivo, mostre que:
[tex3]\lfloor{x}\rfloor+\lfloor{x+\frac{1}{n}}\rfloor+\lfloor{x+\frac{2}{n}}\rfloor+...+\lfloor{x+\frac{n-1}{n}}\rfloor=\lfloor{nx}\rfloor[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Ensino Médio ⇒ (Rufino) Função máximo inteiro Tópico resolvido
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AnthonyC
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Fev 2021
06
02:52
Re: (Rufino) Função máximo inteiro
Seja [tex3]f(x)=\left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor x+{1\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x+{2\over n}\right\rfloor+...+\left\lfloor x+{n-1\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]. Podemos também escrever esta função como:
[tex3]f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
Sabemos que a função piso possuí a seguinte propriedade:
Vamos agora estudar [tex3]f\(x+{1\over n}\)[/tex3] :
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{1\over n}+{k\over n}\right\rfloor-\left\lfloor n\(x+{1\over n}\)\right\rfloor[/tex3]
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k+1\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx+1\right\rfloor[/tex3]
Fazendo a seguinte mudança de variável na soma:[tex3]\begin{cases}
k+1=u \\
k=0\implies u=1\\
k=n-1 \implies u=n
\end{cases}[/tex3] [tex3]k+1=n[/tex3], temos:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^n\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx+1\right\rfloor[/tex3]
Extraindo o último termo do somatório, temos:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x+{n\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx+1\right\rfloor[/tex3]
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x+1\right\rfloor-\left\lfloor nx+1\right\rfloor[/tex3]
Usando (I) nos dois últimos termos:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x\right\rfloor+1-(\left\lfloor nx\right\rfloor+1)[/tex3]
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
Perceba que [tex3]\left\lfloor x\right\rfloor=\left\lfloor x+{0\over n}\right\rfloor[/tex3]. Portanto, podemos incluir este termo no somatório, iniciando este a partir de [tex3]u=0[/tex3]:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=0}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
Como a variável de somatório não altera seu valor, podemos tomar [tex3]u=k[/tex3]:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=f(x)[/tex3]
Portanto a função tem período [tex3]1\over n[/tex3]. Seja então [tex3]x\in \[0,{1\over n}\)[/tex3]. Temos:
[tex3]0\leq x\lt {1\over n}[/tex3]
[tex3]{k\over n}\leq x+{k\over n}\lt {1\over n}+{k\over n}[/tex3]
Sabemos que [tex3]k\in[0,n-1]\cap \mathbb Z[/tex3], logo:
[tex3]{0\over n}=0\leq{k\over n}\leq x+{k\over n}\lt {1\over n}+{k\over n}\leq {1\over n}+{n-1\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq x+{k\over n}\lt {1\over n}+{n-1\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq x+{k\over n}\lt {n\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq x+{k\over n}\lt 1[/tex3]
Pela definição de função piso, temos:
[tex3]\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor=0, ~~~~\forall ~~k \in [0,n-1]\cap \mathbb Z[/tex3]
Também temos que:
[tex3]0\leq x\lt {1\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq nx\lt {n\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq nx\lt1[/tex3]
Logo, [tex3]\left\lfloor nx\right\rfloor=0[/tex3]
Portanto, todos os termos pertencentes a função são nulos. Logo:
[tex3]x\in\[0,{1\over n}\) \implies f(x)=0[/tex3]
Como a função tem período [tex3]{1\over n}[/tex3], então [tex3]f(x)=0, ~~~~\forall ~~x\in \mathbb R[/tex3]. Logo:
[tex3]f(x)=0[/tex3]
[tex3]\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor=0[/tex3]
[tex3]\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor=\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
[tex3]\left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor x+{1\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x+{2\over n}\right\rfloor+...+\left\lfloor x+{n-1\over n}\right\rfloor=\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
[tex3]f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
Sabemos que a função piso possuí a seguinte propriedade:
(I) Se [tex3]x\in\mathbb R[/tex3] e [tex3]p\in \mathbb Z[/tex3], então [tex3]\lfloor x+p\rfloor=\lfloor x\rfloor +p[/tex3]
Vamos agora estudar [tex3]f\(x+{1\over n}\)[/tex3] :
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{1\over n}+{k\over n}\right\rfloor-\left\lfloor n\(x+{1\over n}\)\right\rfloor[/tex3]
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k+1\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx+1\right\rfloor[/tex3]
Fazendo a seguinte mudança de variável na soma:[tex3]\begin{cases}
k+1=u \\
k=0\implies u=1\\
k=n-1 \implies u=n
\end{cases}[/tex3] [tex3]k+1=n[/tex3], temos:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^n\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx+1\right\rfloor[/tex3]
Extraindo o último termo do somatório, temos:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x+{n\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx+1\right\rfloor[/tex3]
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x+1\right\rfloor-\left\lfloor nx+1\right\rfloor[/tex3]
Usando (I) nos dois últimos termos:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x\right\rfloor+1-(\left\lfloor nx\right\rfloor+1)[/tex3]
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
Perceba que [tex3]\left\lfloor x\right\rfloor=\left\lfloor x+{0\over n}\right\rfloor[/tex3]. Portanto, podemos incluir este termo no somatório, iniciando este a partir de [tex3]u=0[/tex3]:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=0}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
Como a variável de somatório não altera seu valor, podemos tomar [tex3]u=k[/tex3]:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=f(x)[/tex3]
Portanto a função tem período [tex3]1\over n[/tex3]. Seja então [tex3]x\in \[0,{1\over n}\)[/tex3]. Temos:
[tex3]0\leq x\lt {1\over n}[/tex3]
[tex3]{k\over n}\leq x+{k\over n}\lt {1\over n}+{k\over n}[/tex3]
Sabemos que [tex3]k\in[0,n-1]\cap \mathbb Z[/tex3], logo:
[tex3]{0\over n}=0\leq{k\over n}\leq x+{k\over n}\lt {1\over n}+{k\over n}\leq {1\over n}+{n-1\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq x+{k\over n}\lt {1\over n}+{n-1\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq x+{k\over n}\lt {n\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq x+{k\over n}\lt 1[/tex3]
Pela definição de função piso, temos:
[tex3]\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor=0, ~~~~\forall ~~k \in [0,n-1]\cap \mathbb Z[/tex3]
Também temos que:
[tex3]0\leq x\lt {1\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq nx\lt {n\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq nx\lt1[/tex3]
Logo, [tex3]\left\lfloor nx\right\rfloor=0[/tex3]
Portanto, todos os termos pertencentes a função são nulos. Logo:
[tex3]x\in\[0,{1\over n}\) \implies f(x)=0[/tex3]
Como a função tem período [tex3]{1\over n}[/tex3], então [tex3]f(x)=0, ~~~~\forall ~~x\in \mathbb R[/tex3]. Logo:
[tex3]f(x)=0[/tex3]
[tex3]\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor=0[/tex3]
[tex3]\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor=\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
[tex3]\left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor x+{1\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x+{2\over n}\right\rfloor+...+\left\lfloor x+{n-1\over n}\right\rfloor=\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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