Seja
[tex3]f(x)=\left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor x+{1\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x+{2\over n}\right\rfloor+...+\left\lfloor x+{n-1\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]. Podemos também escrever esta função como:
[tex3]f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
Sabemos que a função piso possuí a seguinte propriedade:
(I) Se [tex3]x\in\mathbb R[/tex3] e [tex3]p\in \mathbb Z[/tex3], então [tex3]\lfloor x+p\rfloor=\lfloor x\rfloor +p[/tex3]
Vamos agora estudar [tex3]f\(x+{1\over n}\)[/tex3]
:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{1\over n}+{k\over n}\right\rfloor-\left\lfloor n\(x+{1\over n}\)\right\rfloor[/tex3]
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k+1\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx+1\right\rfloor[/tex3]
Fazendo a seguinte mudança de variável na soma:
[tex3]\begin{cases}
k+1=u \\
k=0\implies u=1\\
k=n-1 \implies u=n
\end{cases}[/tex3] [tex3]k+1=n[/tex3], temos:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^n\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx+1\right\rfloor[/tex3]
Extraindo o último termo do somatório, temos:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x+{n\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx+1\right\rfloor[/tex3]
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x+1\right\rfloor-\left\lfloor nx+1\right\rfloor[/tex3]
Usando (I) nos dois últimos termos:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x\right\rfloor+1-(\left\lfloor nx\right\rfloor+1)[/tex3]
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=1}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
Perceba que
[tex3]\left\lfloor x\right\rfloor=\left\lfloor x+{0\over n}\right\rfloor[/tex3]. Portanto, podemos incluir este termo no somatório, iniciando este a partir de
[tex3]u=0[/tex3]:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{u=0}^{n-1}\left\lfloor x+{u\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
Como a variável de somatório não altera seu valor, podemos tomar
[tex3]u=k[/tex3]:
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
[tex3]f\(x+{1\over n}\)=f(x)[/tex3]
Portanto
a função tem período [tex3]1\over n[/tex3]. Seja então
[tex3]x\in \[0,{1\over n}\)[/tex3]. Temos:
[tex3]0\leq x\lt {1\over n}[/tex3]
[tex3]{k\over n}\leq x+{k\over n}\lt {1\over n}+{k\over n}[/tex3]
Sabemos que
[tex3]k\in[0,n-1]\cap \mathbb Z[/tex3], logo:
[tex3]{0\over n}=0\leq{k\over n}\leq x+{k\over n}\lt {1\over n}+{k\over n}\leq {1\over n}+{n-1\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq x+{k\over n}\lt {1\over n}+{n-1\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq x+{k\over n}\lt {n\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq x+{k\over n}\lt 1[/tex3]
Pela definição de função piso, temos:
[tex3]\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor=0, ~~~~\forall ~~k \in [0,n-1]\cap \mathbb Z[/tex3]
Também temos que:
[tex3]0\leq x\lt {1\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq nx\lt {n\over n}[/tex3]
[tex3]0\leq nx\lt1[/tex3]
Logo,
[tex3]\left\lfloor nx\right\rfloor=0[/tex3]
Portanto,
todos os termos pertencentes a função são nulos. Logo:
[tex3]x\in\[0,{1\over n}\) \implies f(x)=0[/tex3]
Como a função tem período
[tex3]{1\over n}[/tex3], então
[tex3]f(x)=0, ~~~~\forall ~~x\in \mathbb R[/tex3]. Logo:
[tex3]f(x)=0[/tex3]
[tex3]\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor-\left\lfloor nx\right\rfloor=0[/tex3]
[tex3]\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor=\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]
[tex3]\left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor x+{1\over n}\right\rfloor+\left\lfloor x+{2\over n}\right\rfloor+...+\left\lfloor x+{n-1\over n}\right\rfloor=\left\lfloor nx\right\rfloor[/tex3]