Se [tex3]AP=z, \ PD=y, \ BT=x[/tex3] , determine [tex3]z[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3]
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Ensino Médio ⇒ Círculos tangentes e quadrilátero
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2020
03
13:54
Círculos tangentes e quadrilátero
No quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3]
a seguir as circunferências são tangentes entre si e aos lados do quadrilátero nos pontos destacados.
Se [tex3]AP=z, \ PD=y, \ BT=x[/tex3] , determine [tex3]z[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] Obs.: Não possuo gabarito.
Se [tex3]AP=z, \ PD=y, \ BT=x[/tex3] , determine [tex3]z[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] Obs.: Não possuo gabarito.
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FelipeMartin
- Mensagens: 2210
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- Última visita: 13-04-24
Set 2020
11
22:22
Re: Círculos tangentes e quadrilátero
Seja [tex3]K = AB \cap CD[/tex3]
resolva o [tex3]\triangle KAD[/tex3] cujo semi-perímetro é [tex3]p[/tex3] :
[tex3]p-z = AK[/tex3]
[tex3]p-y = DK[/tex3]
então: [tex3]AK = DK + (y-z)[/tex3] jogando no Pitágoras: [tex3]DK = \frac{2yz}{y-z}[/tex3]
daqui podemos pegar a inclinação da bissetriz:
[tex3]m = \frac{y}{DK + y} = \frac{1}{1+\frac{2z}{y-z}} = \frac{y-z}{y+z}[/tex3]
seja [tex3]X[/tex3] o ponto de contato do círculo mais à esquerda (o menor) com [tex3]AB[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] o ponto de contato do círculo mais à direita (maior) com [tex3]AB[/tex3] . e [tex3]W,Z[/tex3] os pontos de contato destes dois círculos com [tex3]DC[/tex3] ([tex3]W[/tex3] no círculo menor).
Então [tex3]XY = WZ[/tex3] por serem tangentes comuns entre dois círculos:
[tex3]AB = z+x + XY[/tex3] e [tex3]DC = y + TC + WZ[/tex3]
uma forma de terminar é usar [tex3]m = \tg (\alpha)[/tex3] para calcular [tex3]\tg(2\alpha)[/tex3] e montar um triângulo retângulo traçando uma paralela a [tex3]DC[/tex3] por [tex3]A[/tex3] que teria hipotenusa [tex3]AB[/tex3] , cateto de medida [tex3]DC[/tex3] e teria inclinação de [tex3]\tg(2\alpha)[/tex3] isso me parece dar muita conta.
resolva o [tex3]\triangle KAD[/tex3] cujo semi-perímetro é [tex3]p[/tex3] :
[tex3]p-z = AK[/tex3]
[tex3]p-y = DK[/tex3]
então: [tex3]AK = DK + (y-z)[/tex3] jogando no Pitágoras: [tex3]DK = \frac{2yz}{y-z}[/tex3]
daqui podemos pegar a inclinação da bissetriz:
[tex3]m = \frac{y}{DK + y} = \frac{1}{1+\frac{2z}{y-z}} = \frac{y-z}{y+z}[/tex3]
seja [tex3]X[/tex3] o ponto de contato do círculo mais à esquerda (o menor) com [tex3]AB[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] o ponto de contato do círculo mais à direita (maior) com [tex3]AB[/tex3] . e [tex3]W,Z[/tex3] os pontos de contato destes dois círculos com [tex3]DC[/tex3] ([tex3]W[/tex3] no círculo menor).
Então [tex3]XY = WZ[/tex3] por serem tangentes comuns entre dois círculos:
[tex3]AB = z+x + XY[/tex3] e [tex3]DC = y + TC + WZ[/tex3]
uma forma de terminar é usar [tex3]m = \tg (\alpha)[/tex3] para calcular [tex3]\tg(2\alpha)[/tex3] e montar um triângulo retângulo traçando uma paralela a [tex3]DC[/tex3] por [tex3]A[/tex3] que teria hipotenusa [tex3]AB[/tex3] , cateto de medida [tex3]DC[/tex3] e teria inclinação de [tex3]\tg(2\alpha)[/tex3] isso me parece dar muita conta.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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