Ensino MédioGeometria segmentos congruentes

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Hanon
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Ago 2020 31 13:30

Geometria segmentos congruentes

Mensagem não lida por Hanon »

Off Topic
[tex3]AP[/tex3] é mediana que parte do vértice [tex3]A[/tex3] o círculo maior passa por [tex3]A[/tex3] e pelo centro dos dois ex-círculos dos triângulos [tex3]ABP[/tex3] e [tex3]APC[/tex3] e intersecta [tex3]AB[/tex3] em [tex3]X[/tex3] e [tex3]AC[/tex3] em [tex3]Y[/tex3] . Prove que [tex3]BX=CY[/tex3]
52608906_10216091606137677_4040517331552567296_n.jpg
52608906_10216091606137677_4040517331552567296_n.jpg (21.66 KiB) Exibido 1364 vezes

Última edição: Hanon (Qua 19 Ago, 2020 20:52). Total de 1 vez.



FelipeMartin
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Re: Geometria segmentos congruentes

Mensagem não lida por FelipeMartin »

de onde você tirou esse problema?



φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

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Hanon
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Set 2020 14 14:00

Re: Geometria segmentos congruentes

Mensagem não lida por Hanon »

FelipeMartin escreveu:
Dom 13 Set, 2020 21:05
de onde você tirou esse problema?
Romantics of Geometry [tex3]\rightarrow [/tex3] Grupo do Facebook.



FelipeMartin
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Re: Geometria segmentos congruentes

Mensagem não lida por FelipeMartin »

gostei da página, muitos gregos por lá. Mas acho que os problemas de lá estão um pouco fora do nível daqui.
Acho que podemos pensar na semelhança espiral (roto-homotetia) que transfere o segmento [tex3]BX[/tex3] no [tex3]CY[/tex3] , me parece que o centro da roto-homotetia está na mediatriz de [tex3]XC[/tex3] e de [tex3]BY[/tex3] também, não sei se isso é óbvio.


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

FelipeMartin
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Re: Geometria segmentos congruentes

Mensagem não lida por FelipeMartin »

O que está por trás deste problema é o seguinte lema (que deveria ter um nome):

Lema: Dado um [tex3]\triangle ABC[/tex3] , sejam [tex3]M \in AB[/tex3] e [tex3]N \in AC[/tex3] tais que [tex3]BM = CN[/tex3] e seja também [tex3]M_a[/tex3] o ponto médio do arco [tex3]\widehat{BC}[/tex3] no circuncírculo do [tex3]\triangle ABC[/tex3] , então [tex3]MNAM_a[/tex3] é cíclico.

Prova:
hanon1.png
hanon1.png (60.44 KiB) Exibido 753 vezes
Note que [tex3]M_aB = M_aC[/tex3] e que [tex3]\angle MBM_a = \angle NCM_a = \frac{\widehat{AM_a}}2[/tex3] , logo, [tex3]\triangle MBM_a \cong \triangle NCM_a[/tex3] por LAL em [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] ; em particular, [tex3]\angle BMM_a = \angle CNM_a \iff \angle AMM_a = \angle ANM_a[/tex3] donde [tex3]AM_aNM[/tex3] é cíclico. Em particular, isso significa que [tex3]M_a[/tex3] é centro de Roto-Homotetia entre [tex3]MN[/tex3] e [tex3]BC[/tex3] .

O seu problema agora:

Como [tex3]\angle I_BPI_C = 90^{\circ} = \angle M_aPC[/tex3] , podemos pensar na rotação de [tex3]90^{\circ}[/tex3] centrada em [tex3]P[/tex3] e na dilatação, também centrada em [tex3]P[/tex3] , que leva [tex3]C[/tex3] a [tex3]M_a[/tex3] . Essa roto-homotetia leva [tex3]I_C[/tex3] no ponto [tex3]T \in \overrightarrow{I_BP}[/tex3] . Note que [tex3]\triangle TPI_C \sim \triangle M_aPC \implies \angle PTI_C = \angle PM_aC = \frac{\angle A}2[/tex3] . Analogamente a roto-homotetia que leva [tex3]B[/tex3] a [tex3]M_a[/tex3] leva [tex3]I_B[/tex3] a [tex3]S[/tex3] e é trivial que [tex3]SI_BI_CTA[/tex3] é cíclico, pois todos enxergam [tex3]\widehat{I_BI_C}[/tex3] sob [tex3]\frac{\angle A}2[/tex3] .
hanon2.png
hanon2.png (114.74 KiB) Exibido 753 vezes
Como também é verdade que [tex3]\triangle PM_aT \sim \triangle PCI_C[/tex3] , então [tex3]\angle TM_aP = \angle I_CCP = 90^{\circ} - \frac{\angle C}2[/tex3] . Analogamente, [tex3]\angle SM_aP = 90^{\circ} - \frac{\angle B}2[/tex3] , então [tex3]\angle SM_aT = 90^{\circ} + \frac{\angle A}2[/tex3] , mas [tex3]\angle SI_CT = \angle PI_CT = \angle M_aCP = 90^{\circ} - \frac{\angle A}2[/tex3] , ou seja, [tex3]SM_aI_CT[/tex3] é cíclico. Ufa! [tex3]M_aI_CI_BA[/tex3] é cíclico. Agora vale a volta do lema acima!

[tex3]\angle ABM_a = \angle ACM_a \iff \angle XBM_a = \angle YCM_a[/tex3] e como [tex3]\angle AXM_a = \angle AYM_a[/tex3] , então [tex3]\triangle M_aXB \cong \triangle M_aYC[/tex3] por AAL, logo [tex3]XB = YC[/tex3] .

Última edição: FelipeMartin (Seg 24 Jan, 2022 14:06). Total de 2 vezes.


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