Boa noite,
MedeirosU , vou deixar aqui uma possível solução:
Seja ''N'' o primeiro número citado pela questão, sendo [tex3]a[/tex3]
e [tex3]k^2[/tex3]
os algarismos, nesta ordem, do número ''N''. Logo:
Utilizando a informação dada pelo problema:
[tex3]ak^2=(a+k^2).M[/tex3]
Veja que podemos escrever o número ''N'' dessa maneira:
[tex3]N=10a+k^2[/tex3]
Logo, juntando as duas equações:
[tex3]N=10a+k^2=(a+k^2).M \therefore a=\frac{k^2-M.k^2}{M-10}[/tex3]
Agora, seja ''P'' o segundo número citado pela questão, então:
[tex3]P=k^{2}a[/tex3]
A questão disse que ''P'' pode ser escrito como o produto entre soma dos algarismos e um número que não sabemos. Seja ''x'' esse número, logo:
[tex3]P=k^{2}a=(a+k^2).x[/tex3]
Vamos utilizar a mesma ideia que utilizamos para escrever o número ''N'' de outra forma:
[tex3]P=10k^{2}+a=(a+k^2).x \therefore x=\frac{10k^2+a}{a+k^2}[/tex3]
Substituindo o valor de ''a'' na equação:
[tex3]x=\frac{10.k^{2}+\frac{k^2-M.k^{2}}{M-10}}{\frac{k^2-M.k^{2}}{M-10}+k^{2}}[/tex3]
[tex3]x=\frac{\frac{10.k^2.M-100.k^2+k^2-M.k^2}{M-10}}{\frac{k^2-M.k^2+M.k^2-10.k^2}{M-10}}[/tex3]
[tex3]x=\frac{9.k^2.M-99.k^2}{-9.k^2}=11-M[/tex3]