Essa propriedade é mais importante desses círculos tangentes e é por conta dela que vale a pena aprender a homotetia.
Sabemos que o círculo maior e o círculo menor são
homotéticos por T.
Por isso, [tex3]M[/tex3]
é a imagem de [tex3]K[/tex3]
na homotetia (ou vice-versa dependendo se você olha pra homotetia que expande ou a que contrai).
Use o
Lema 3 do tópico de homotetia(
viewtopic.php?f=28&t=74548 ): as retas tangentes por [tex3]M[/tex3]
e [tex3]K[/tex3]
são paralelas (esse é o melhor jeito de enxergar imagens de homotetia entre círculos).
A reta tangente por [tex3]K[/tex3]
é a corda [tex3]AB[/tex3]
.
A reta tangente por [tex3]M[/tex3]
deve ser paralela a corda [tex3]AB[/tex3]
.
[tex3]M[/tex3]
é então um ponto da circunferência maior que tem a reta tangente paralela a corda [tex3]AB[/tex3]
mas
então M é necessariamente ponto médio do arco AB
Essa propriedade é importantíssima, chama-se o lema da estrela da morte.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.