a) [tex3]\frac{a^2+b^2}{2b}[/tex3]
b) [tex3]\frac{a^2+b^2}{2a}[/tex3]
c) [tex3]\frac{a^2-b^2}{2a}[/tex3]
d) [tex3]\frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}[/tex3]
e) [tex3]\frac{a^2+b^2}{a\sqrt{3}}[/tex3]
Resposta
c) [tex3]\frac{a^2-b^2}{2a}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Geometria Plana - Paralelogramo Tópico resolvido
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Ago 2020
07
09:27
Geometria Plana - Paralelogramo
Num paralelogramo [tex3]ABCD[/tex3]
, [tex3]\overline{AB}=a[/tex3]
, [tex3]\overline{BC}=b[/tex3]
[tex3](a>b)[/tex3]
; o ângulo entre as diagonais mede [tex3]45°[/tex3]
. Calcule a distância entre [tex3]\overline{AB}[/tex3]
e [tex3]\overline{CD}[/tex3]
.
a) [tex3]\frac{a^2+b^2}{2b}[/tex3]
b) [tex3]\frac{a^2+b^2}{2a}[/tex3]
c) [tex3]\frac{a^2-b^2}{2a}[/tex3]
d) [tex3]\frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}[/tex3]
e) [tex3]\frac{a^2+b^2}{a\sqrt{3}}[/tex3]
c) [tex3]\frac{a^2-b^2}{2a}[/tex3]
a) [tex3]\frac{a^2+b^2}{2b}[/tex3]
b) [tex3]\frac{a^2+b^2}{2a}[/tex3]
c) [tex3]\frac{a^2-b^2}{2a}[/tex3]
d) [tex3]\frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}[/tex3]
e) [tex3]\frac{a^2+b^2}{a\sqrt{3}}[/tex3]
c) [tex3]\frac{a^2-b^2}{2a}[/tex3]
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Ago 2020
07
11:46
Re: Geometria Plana - Paralelogramo
Considere a figura:
Suponha que [tex3]\angle AOD= 45 \degree[/tex3]
Pela lei dos cossenos em [tex3]AOD[/tex3] : [tex3]x^2+y^2-2xy \cos 45 \degree =b^2[/tex3] ou seja [tex3]x^2+y^2-xy~\sqrt{2}=b^2[/tex3]
Pela lei dos cossenos em [tex3]DOC[/tex3] : [tex3]x^2+y^2-2xy \cos 135\degree =a^2[/tex3] ou seja [tex3]x^2+y^2+xy~\sqrt{2}=a^2[/tex3]
Subtraindo as duas expressões obtemos [tex3]2xy\sqrt{2}=a^2-b^2.[/tex3]
Por outro lado pela fórmula da área envolvendo senos a área dos triângulos [tex3]AOB, BOC, DOC, AOD[/tex3] são todos iguais ao mesmo valor [tex3]\dfrac{xy~\sen 45\degree}2=\dfrac{xy~\sen 135\degree}{2}=\dfrac{xy \sqrt{2}}4[/tex3] e logo a área do paralelogramo é igual a [tex3]4\cdot \dfrac{xy \sqrt{2}}4=xy\sqrt{2}=\dfrac{a^2-b^2}2.[/tex3]
Mas a área do paralelogramo pode ser calculada como [tex3]ah[/tex3] onde [tex3]h[/tex3] é distância entre [tex3]AB[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] (altura) então [tex3]ah=\dfrac{a^2-b^2}2[/tex3] ou seja [tex3]\boxed{h=\dfrac{a^2-b^2}{2a}}[/tex3]
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Pela lei dos cossenos em [tex3]AOD[/tex3] : [tex3]x^2+y^2-2xy \cos 45 \degree =b^2[/tex3] ou seja [tex3]x^2+y^2-xy~\sqrt{2}=b^2[/tex3]
Pela lei dos cossenos em [tex3]DOC[/tex3] : [tex3]x^2+y^2-2xy \cos 135\degree =a^2[/tex3] ou seja [tex3]x^2+y^2+xy~\sqrt{2}=a^2[/tex3]
Subtraindo as duas expressões obtemos [tex3]2xy\sqrt{2}=a^2-b^2.[/tex3]
Por outro lado pela fórmula da área envolvendo senos a área dos triângulos [tex3]AOB, BOC, DOC, AOD[/tex3] são todos iguais ao mesmo valor [tex3]\dfrac{xy~\sen 45\degree}2=\dfrac{xy~\sen 135\degree}{2}=\dfrac{xy \sqrt{2}}4[/tex3] e logo a área do paralelogramo é igual a [tex3]4\cdot \dfrac{xy \sqrt{2}}4=xy\sqrt{2}=\dfrac{a^2-b^2}2.[/tex3]
Mas a área do paralelogramo pode ser calculada como [tex3]ah[/tex3] onde [tex3]h[/tex3] é distância entre [tex3]AB[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] (altura) então [tex3]ah=\dfrac{a^2-b^2}2[/tex3] ou seja [tex3]\boxed{h=\dfrac{a^2-b^2}{2a}}[/tex3]
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