Geometria - Triângulos e circunferências
Enviado: Seg 20 Jul, 2020 10:18
O cateto do triângulo retângulo abaixo vale [tex3]a[/tex3]
[tex3](a > 2)[/tex3]
. Determinar a área sombreada, sabendo que temos infinitos círculos tangentes.
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FelipeMartin escreveu: ↑Seg 20 Jul, 2020 12:14temos um triângulo retângulo com cateto [tex3]a[/tex3] e raio da inscrita [tex3]r=1[/tex3] com isso podemos determinar os outros dois lados:
[tex3]r = p-c \iff 2 = a+b-c \iff c = a+b-2[/tex3]
mas como [tex3]c^2 = a^2 + b^2 \implies a^2 + b^2 + 2ab - 4a-4b + 4 = a^2 + b^2 \iff 2a+2b = ab+2[/tex3]
de onde [tex3]b\(a-2\) = 2a - 2 \implies b = 2\frac{a-1}{a-2}[/tex3]
com isso temos a tangente da bissetriz onde ficam os centros de todas essas circunferências:
[tex3]\tan\(\frac \alpha2 \) = \frac{1}{b-1} = \frac{r_n}{b_n}[/tex3]
onde [tex3]r_n[/tex3] é o raio da ené-sima circunferência (começando do incírculo unitário e avançado para a direita)
e [tex3]b_n[/tex3] é a distância do ponto de contato da ené-sima circunferência com o lado [tex3]b[/tex3] até o vértice da bissetriz da direita.
As relações são as seguintes:
[tex3]b_{n} - b_{n+1} = 2\sqrt{r_n r_{n+1}}[/tex3]
de onde
[tex3]b_n - b_{n+1} = \frac2{b-1} \sqrt{b_n b_{n+1}}[/tex3]
a solução dessa relação é:
[tex3]b_n = \(b-1\)\( \frac2{\(b-1\)^2} - \frac1{b-1}\sqrt{4+ \frac4{\(b-1\)^2}} + 1\)^{n-1}[/tex3]
de onde
[tex3]r_n = \( \frac2{\(b-1\)^2} - \frac1{b-1}\sqrt{4+ \frac4{\(b-1\)^2}} + 1\)^{n-1} = q^{n-1}[/tex3]
então [tex3]\pi r_n^2 = \pi q^{2n-2}[/tex3]
e então
[tex3]S = \pi \sum_{n=1}^{\infty} q^{2n-2} = \pi \frac1{1-q^2}[/tex3]
onde [tex3]q = \frac2{\(b-1\)^2} - \frac1{b-1}\sqrt{4+ \frac4{\(b-1\)^2}} + 1 [/tex3] e [tex3]b = 2\frac{a-1}{a-2}[/tex3]
só substituir o [tex3]b[/tex3]
Eu espero que tenha um jeito mais fácil, resolver essa relação de recorrência não é tão trivial.FelipeMartin escreveu: ↑Seg 20 Jul, 2020 12:14
[tex3]b_n - b_{n+1} = \frac2{b-1} \sqrt{b_n b_{n+1}}[/tex3]
a solução dessa relação é:
[tex3]b_n = \(b-1\)\( \frac2{\(b-1\)^2} - \frac1{b-1}\sqrt{4+ \frac4{\(b-1\)^2}} + 1\)^{n-1}[/tex3]