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Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ Geometria - Triângulos e circunferências Tópico resolvido
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Babi123
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Jul 2020
20
10:18
Geometria - Triângulos e circunferências
O cateto do triângulo retângulo abaixo vale [tex3]a[/tex3]
[tex3](a > 2)[/tex3]
. Determinar a área sombreada, sabendo que temos infinitos círculos tangentes.
Editado pela última vez por Babi123 em 20 Jul 2020, 10:43, em um total de 2 vezes.
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FelipeMartin
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Jul 2020
20
12:14
Re: Geometria - Triângulos e circunferências
temos um triângulo retângulo com cateto [tex3]a[/tex3]
e raio da inscrita [tex3]r=1[/tex3]
com isso podemos determinar os outros dois lados:
[tex3]r = p-c \iff 2 = a+b-c \iff c = a+b-2[/tex3]
mas como [tex3]c^2 = a^2 + b^2 \implies a^2 + b^2 + 2ab - 4a-4b + 4 = a^2 + b^2 \iff 2a+2b = ab+2[/tex3]
de onde [tex3]b\(a-2\) = 2a - 2 \implies b = 2\frac{a-1}{a-2}[/tex3]
com isso temos a tangente da bissetriz onde ficam os centros de todas essas circunferências:
[tex3]\tan\(\frac \alpha2 \) = \frac{1}{b-1} = \frac{r_n}{b_n}[/tex3]
onde [tex3]r_n[/tex3] é o raio da ené-sima circunferência (começando do incírculo unitário e avançado para a direita)
e [tex3]b_n[/tex3] é a distância do ponto de contato da ené-sima circunferência com o lado [tex3]b[/tex3] até o vértice da bissetriz da direita.
As relações são as seguintes:
[tex3]b_{n} - b_{n+1} = 2\sqrt{r_n r_{n+1}}[/tex3]
de onde
[tex3]b_n - b_{n+1} = \frac2{b-1} \sqrt{b_n b_{n+1}}[/tex3]
a solução dessa relação é:
[tex3]b_n = \(b-1\)\( \frac2{\(b-1\)^2} - \frac1{b-1}\sqrt{4+ \frac4{\(b-1\)^2}} + 1\)^{n-1}[/tex3]
de onde
[tex3]r_n = \( \frac2{\(b-1\)^2} - \frac1{b-1}\sqrt{4+ \frac4{\(b-1\)^2}} + 1\)^{n-1} = q^{n-1}[/tex3]
então [tex3]\pi r_n^2 = \pi q^{2n-2}[/tex3]
e então
[tex3]S = \pi \sum_{n=1}^{\infty} q^{2n-2} = \pi \frac1{1-q^2}[/tex3]
onde [tex3]q = \frac2{\(b-1\)^2} - \frac1{b-1}\sqrt{4+ \frac4{\(b-1\)^2}} + 1 [/tex3] e [tex3]b = 2\frac{a-1}{a-2}[/tex3]
só substituir o [tex3]b[/tex3]
[tex3]r = p-c \iff 2 = a+b-c \iff c = a+b-2[/tex3]
mas como [tex3]c^2 = a^2 + b^2 \implies a^2 + b^2 + 2ab - 4a-4b + 4 = a^2 + b^2 \iff 2a+2b = ab+2[/tex3]
de onde [tex3]b\(a-2\) = 2a - 2 \implies b = 2\frac{a-1}{a-2}[/tex3]
com isso temos a tangente da bissetriz onde ficam os centros de todas essas circunferências:
[tex3]\tan\(\frac \alpha2 \) = \frac{1}{b-1} = \frac{r_n}{b_n}[/tex3]
onde [tex3]r_n[/tex3] é o raio da ené-sima circunferência (começando do incírculo unitário e avançado para a direita)
e [tex3]b_n[/tex3] é a distância do ponto de contato da ené-sima circunferência com o lado [tex3]b[/tex3] até o vértice da bissetriz da direita.
As relações são as seguintes:
[tex3]b_{n} - b_{n+1} = 2\sqrt{r_n r_{n+1}}[/tex3]
de onde
[tex3]b_n - b_{n+1} = \frac2{b-1} \sqrt{b_n b_{n+1}}[/tex3]
a solução dessa relação é:
[tex3]b_n = \(b-1\)\( \frac2{\(b-1\)^2} - \frac1{b-1}\sqrt{4+ \frac4{\(b-1\)^2}} + 1\)^{n-1}[/tex3]
de onde
[tex3]r_n = \( \frac2{\(b-1\)^2} - \frac1{b-1}\sqrt{4+ \frac4{\(b-1\)^2}} + 1\)^{n-1} = q^{n-1}[/tex3]
então [tex3]\pi r_n^2 = \pi q^{2n-2}[/tex3]
e então
[tex3]S = \pi \sum_{n=1}^{\infty} q^{2n-2} = \pi \frac1{1-q^2}[/tex3]
onde [tex3]q = \frac2{\(b-1\)^2} - \frac1{b-1}\sqrt{4+ \frac4{\(b-1\)^2}} + 1 [/tex3] e [tex3]b = 2\frac{a-1}{a-2}[/tex3]
só substituir o [tex3]b[/tex3]
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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Babi123
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Jul 2020
20
19:30
Re: Geometria - Triângulos e circunferências
FelipeMartin escreveu: ↑20 Jul 2020, 12:14 temos um triângulo retângulo com cateto [tex3]a[/tex3] e raio da inscrita [tex3]r=1[/tex3] com isso podemos determinar os outros dois lados:
[tex3]r = p-c \iff 2 = a+b-c \iff c = a+b-2[/tex3]
mas como [tex3]c^2 = a^2 + b^2 \implies a^2 + b^2 + 2ab - 4a-4b + 4 = a^2 + b^2 \iff 2a+2b = ab+2[/tex3]
de onde [tex3]b\(a-2\) = 2a - 2 \implies b = 2\frac{a-1}{a-2}[/tex3]
com isso temos a tangente da bissetriz onde ficam os centros de todas essas circunferências:
[tex3]\tan\(\frac \alpha2 \) = \frac{1}{b-1} = \frac{r_n}{b_n}[/tex3]
onde [tex3]r_n[/tex3] é o raio da ené-sima circunferência (começando do incírculo unitário e avançado para a direita)
e [tex3]b_n[/tex3] é a distância do ponto de contato da ené-sima circunferência com o lado [tex3]b[/tex3] até o vértice da bissetriz da direita.
As relações são as seguintes:
[tex3]b_{n} - b_{n+1} = 2\sqrt{r_n r_{n+1}}[/tex3]
de onde
[tex3]b_n - b_{n+1} = \frac2{b-1} \sqrt{b_n b_{n+1}}[/tex3]
a solução dessa relação é:
[tex3]b_n = \(b-1\)\( \frac2{\(b-1\)^2} - \frac1{b-1}\sqrt{4+ \frac4{\(b-1\)^2}} + 1\)^{n-1}[/tex3]
de onde
[tex3]r_n = \( \frac2{\(b-1\)^2} - \frac1{b-1}\sqrt{4+ \frac4{\(b-1\)^2}} + 1\)^{n-1} = q^{n-1}[/tex3]
então [tex3]\pi r_n^2 = \pi q^{2n-2}[/tex3]
e então
[tex3]S = \pi \sum_{n=1}^{\infty} q^{2n-2} = \pi \frac1{1-q^2}[/tex3]
onde [tex3]q = \frac2{\(b-1\)^2} - \frac1{b-1}\sqrt{4+ \frac4{\(b-1\)^2}} + 1 [/tex3] e [tex3]b = 2\frac{a-1}{a-2}[/tex3]
só substituir o [tex3]b[/tex3]
Obgda Felipe
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FelipeMartin
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Jul 2020
20
21:36
Re: Geometria - Triângulos e circunferências
Eu espero que tenha um jeito mais fácil, resolver essa relação de recorrência não é tão trivial.FelipeMartin escreveu: ↑20 Jul 2020, 12:14
[tex3]b_n - b_{n+1} = \frac2{b-1} \sqrt{b_n b_{n+1}}[/tex3]
a solução dessa relação é:
[tex3]b_n = \(b-1\)\( \frac2{\(b-1\)^2} - \frac1{b-1}\sqrt{4+ \frac4{\(b-1\)^2}} + 1\)^{n-1}[/tex3]
Mas realmente eu não consegui fazer de outra maneira.
Talvez calcular a relação entre os raios na marra, com fórmulas ou mesmo analítica seja o jeito mais rápido.
Ainda assim acho que a resposta final não simplifica muito.
Pra encontrar o raio da circunferência encostando no incírculo por analítica (oricem no vértice do ângulo reto, eixo x na horizontal da esquerda para a direita e eixo y na vertical de baixo para cima)
daria pra fazer olhando para o ponto mais alto do incírculo: [tex3]P = (1,2)[/tex3]
e olhando para o encontro do incírculo com a bissetriz: [tex3]A = (b,0)[/tex3] , [tex3]B = (a,0)[/tex3] a equação da bissetriz é [tex3]y = \frac{x-b}{b-1}[/tex3] deixando essa reta encontrar o círculo podemos tirar o ponto de contato entre os dois círculos, com esse ponto e o ponto [tex3]P[/tex3] fazemos uso da homotetia pra encontrar o ponto de contado do círculo com o lado [tex3]CA[/tex3] e o problema meio que acaba.
Editado pela última vez por FelipeMartin em 20 Jul 2020, 21:43, em um total de 1 vez.
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