Ensino Médio ⇒ Equação trigonométrica 4

[jeabud]

Discuta, segundo m, as equações seguintes:
a) m . Cos x - (m + 1) . Sen x = m
Gab: [tex3]\exists x,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\exists x,[/tex3]

[tex3]\vee [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vee [/tex3]

m [tex3]\in R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in R[/tex3]

Vou postar minha solução...

1195C824-E30C-4F94-A3B4-80D2B5D5B57F.jpeg (54.58 KiB) Exibido 553 vezes

[Deleted User 23699]

[tex3]mcos(x)-(m+1)sen(x)=m\rightarrow sen(x)=\sqrt{1-cos^2(x)}\\
mcos(x)-(m+1) \sqrt{1-cos^2(x)}=m \\
m[cos(x)-1]=(m+1) \sqrt{1-cos^2(x)}\\
m^2[cos(x)-1]^2=(m+1)^2[1-cos^2(x)]\\
m^2[cos^2(x)-2cos(x)+1]=(m^2+2m+1)[1-cos^2(x)]\\
m^2cos^2(x)-2mcos(x)+m^2=m^2-m^2cos^2(x)+2m-2mcos^2(x)+1-cos^2(x)\\
\text{Vou chamar cos(x) de y para facilitar a digitaçao:}\\
y^2(m^2+m^2+2m+1)-2y(m)-(2m+1)=0\\
y^2(2m^2+2m+1)-2my-(2m+1)=0\\
\Delta =(-2m)^2-4(2m^2+2m+1)(-2m-1)\\
\Delta =4m^2+4(2m^2+2m+1)(2m+1)\\
\Delta =4m^2+4(4m^3+2m^2+4m^2+2m+2m+1)\\
\Delta=4m^2+4(4m^3+6m^2+4m+1)\\
\Delta =16m^3+28m^2+16m+4\\
\text{Isso tem raíz -1 e duas raízes complexas...}[/tex3]

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[tex3]mcos(x)-(m+1)sen(x)=m\rightarrow sen(x)=\sqrt{1-cos^2(x)}\\
mcos(x)-(m+1) \sqrt{1-cos^2(x)}=m \\
m[cos(x)-1]=(m+1) \sqrt{1-cos^2(x)}\\
m^2[cos(x)-1]^2=(m+1)^2[1-cos^2(x)]\\
m^2[cos^2(x)-2cos(x)+1]=(m^2+2m+1)[1-cos^2(x)]\\
m^2cos^2(x)-2mcos(x)+m^2=m^2-m^2cos^2(x)+2m-2mcos^2(x)+1-cos^2(x)\\
\text{Vou chamar cos(x) de y para facilitar a digitaçao:}\\
y^2(m^2+m^2+2m+1)-2y(m)-(2m+1)=0\\
y^2(2m^2+2m+1)-2my-(2m+1)=0\\
\Delta =(-2m)^2-4(2m^2+2m+1)(-2m-1)\\
\Delta =4m^2+4(2m^2+2m+1)(2m+1)\\
\Delta =4m^2+4(4m^3+2m^2+4m^2+2m+2m+1)\\
\Delta=4m^2+4(4m^3+6m^2+4m+1)\\
\Delta =16m^3+28m^2+16m+4\\
\text{Isso tem raíz -1 e duas raízes complexas...}[/tex3]

O gabarito está estranho.
Está escrito que existe x OU m existe nos reais (???)
Se eu supor que era para ser um A invertido, ou seja, existe x para qualquer m existente nos reais, podemos chegar num absurdo: se x for 270, temos que
[tex3](m+1)=m\\
0=1[/tex3]

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[tex3](m+1)=m\\
0=1[/tex3]

Vou parar minha solução por aqui pois já esta dando muito trabalho. Deixo para alguém conferir.

[jeabud]

Zhadnyy, eu acho q é existe x para quaisquer q seja m pertence aos reais

[petras]

jeabud,

O essencial é você saber para que intervalos temos seno, cosseno e tangente de qualquer ângulo.

Como temos seno e cosseno juntos, fica difícil, por isso vamos elevar ao quadrado pra ver se eliminamos alguma coisa quando aparecer sen² + cos² = 1:
[tex3]m.cos x – (m + 1).sen x = m\\
m^2.(cos^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + (m + 1)^2.(sen^2 x) = m^2\\
m^2.(cos^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + (m^2 + 2m + 1).(sen^2 x) = m^2\\
m^2.(cos^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + m^2.(sen^2 x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
m^2.(cos^2 x) + m^2.(sen^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
m^2.[(cos^2 x) + (sen^2 x)] – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
m^2 – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
-2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) +2m.(sen^2 x) +(sen^2 x) = 0\\
-2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + (sen^2 x).(2m + 1) = 0\\
(sen^2 x).(2m + 1) = 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x)[/tex3]

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[tex3]m.cos x – (m + 1).sen x = m\\
m^2.(cos^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + (m + 1)^2.(sen^2 x) = m^2\\
m^2.(cos^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + (m^2 + 2m + 1).(sen^2 x) = m^2\\
m^2.(cos^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + m^2.(sen^2 x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
m^2.(cos^2 x) + m^2.(sen^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
m^2.[(cos^2 x) + (sen^2 x)] – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
m^2 – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
-2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) +2m.(sen^2 x) +(sen^2 x) = 0\\
-2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + (sen^2 x).(2m + 1) = 0\\
(sen^2 x).(2m + 1) = 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x)[/tex3]

Fazendo sen x diferente de 0 (depois analisamos o que acontece caso sen x = 0), podemos cancelar:
[tex3](sen x).(2m + 1) = 2.m.(cos x).(m + 1),organizando,\\
\frac{(sen x)}{(cos x) }= \frac{2.m.(m + 1)}{(2m + 1)}\\
tg x = \frac{2.m.(m + 1)}{(2m + 1)}[/tex3]

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[tex3](sen x).(2m + 1) = 2.m.(cos x).(m + 1),organizando,\\
\frac{(sen x)}{(cos x) }= \frac{2.m.(m + 1)}{(2m + 1)}\\
tg x = \frac{2.m.(m + 1)}{(2m + 1)}[/tex3]

Sabemos que a tangente de um ângulo pode assumir qualquer valor. Portanto, para qualquer valor que o segundo membro assuma, a equação terá uma resposta válida.

A única coisa que poderia nos preocupar é se o denominador dessa fração fosse igual a zero. Nesse caso, quando m = -1/2, realmente se você conferir na equação original, você terá:
sen x + cos x = 1

E pi/2 + 2k.pi satisfaz sen x + cos x = 1 e sua tg não está definida, que é o caso de termos o denominador da fração igual a zero.

Repare que se tivermos m = -1/2, temos mais uma resposta além dessa, que é x = 2k.pi, que foi a resposta que eliminamos ao cancelar sen x no desenvolvimento acima. Quando considerei que sen x era diferente de zero, era preciso ver o que acontecia quando ele fosse igual a zero!

Resposta: A equação é possível para qualquer m real.
(Solução:cinoto)