Discuta, segundo m, as equações seguintes:
a) m . Cos x - (m + 1) . Sen x = m
Gab: [tex3]\exists x,[/tex3]
[tex3]\vee [/tex3]
m [tex3]\in R[/tex3]
Vou postar minha solução...
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Médio ⇒ Equação trigonométrica 4
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Jul 2020
09
11:03
Re: Equação trigonométrica 4
[tex3]mcos(x)-(m+1)sen(x)=m\rightarrow sen(x)=\sqrt{1-cos^2(x)}\\
mcos(x)-(m+1) \sqrt{1-cos^2(x)}=m \\
m[cos(x)-1]=(m+1) \sqrt{1-cos^2(x)}\\
m^2[cos(x)-1]^2=(m+1)^2[1-cos^2(x)]\\
m^2[cos^2(x)-2cos(x)+1]=(m^2+2m+1)[1-cos^2(x)]\\
m^2cos^2(x)-2mcos(x)+m^2=m^2-m^2cos^2(x)+2m-2mcos^2(x)+1-cos^2(x)\\
\text{Vou chamar cos(x) de y para facilitar a digitaçao:}\\
y^2(m^2+m^2+2m+1)-2y(m)-(2m+1)=0\\
y^2(2m^2+2m+1)-2my-(2m+1)=0\\
\Delta =(-2m)^2-4(2m^2+2m+1)(-2m-1)\\
\Delta =4m^2+4(2m^2+2m+1)(2m+1)\\
\Delta =4m^2+4(4m^3+2m^2+4m^2+2m+2m+1)\\
\Delta=4m^2+4(4m^3+6m^2+4m+1)\\
\Delta =16m^3+28m^2+16m+4\\
\text{Isso tem raíz -1 e duas raízes complexas...}[/tex3]
O gabarito está estranho.
Está escrito que existe x OU m existe nos reais (???)
Se eu supor que era para ser um A invertido, ou seja, existe x para qualquer m existente nos reais, podemos chegar num absurdo: se x for 270, temos que
[tex3](m+1)=m\\
0=1[/tex3]
Vou parar minha solução por aqui pois já esta dando muito trabalho. Deixo para alguém conferir.
mcos(x)-(m+1) \sqrt{1-cos^2(x)}=m \\
m[cos(x)-1]=(m+1) \sqrt{1-cos^2(x)}\\
m^2[cos(x)-1]^2=(m+1)^2[1-cos^2(x)]\\
m^2[cos^2(x)-2cos(x)+1]=(m^2+2m+1)[1-cos^2(x)]\\
m^2cos^2(x)-2mcos(x)+m^2=m^2-m^2cos^2(x)+2m-2mcos^2(x)+1-cos^2(x)\\
\text{Vou chamar cos(x) de y para facilitar a digitaçao:}\\
y^2(m^2+m^2+2m+1)-2y(m)-(2m+1)=0\\
y^2(2m^2+2m+1)-2my-(2m+1)=0\\
\Delta =(-2m)^2-4(2m^2+2m+1)(-2m-1)\\
\Delta =4m^2+4(2m^2+2m+1)(2m+1)\\
\Delta =4m^2+4(4m^3+2m^2+4m^2+2m+2m+1)\\
\Delta=4m^2+4(4m^3+6m^2+4m+1)\\
\Delta =16m^3+28m^2+16m+4\\
\text{Isso tem raíz -1 e duas raízes complexas...}[/tex3]
O gabarito está estranho.
Está escrito que existe x OU m existe nos reais (???)
Se eu supor que era para ser um A invertido, ou seja, existe x para qualquer m existente nos reais, podemos chegar num absurdo: se x for 270, temos que
[tex3](m+1)=m\\
0=1[/tex3]
Vou parar minha solução por aqui pois já esta dando muito trabalho. Deixo para alguém conferir.
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21
10:55
Re: Equação trigonométrica 4
Zhadnyy, eu acho q é existe x para quaisquer q seja m pertence aos reais
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Abr 2023
22
10:18
Re: Equação trigonométrica 4
jeabud,
O essencial é você saber para que intervalos temos seno, cosseno e tangente de qualquer ângulo.
Como temos seno e cosseno juntos, fica difícil, por isso vamos elevar ao quadrado pra ver se eliminamos alguma coisa quando aparecer sen2 + cos2 = 1:
[tex3]m.cos x – (m + 1).sen x = m\\
m^2.(cos^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + (m + 1)^2.(sen^2 x) = m^2\\
m^2.(cos^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + (m^2 + 2m + 1).(sen^2 x) = m^2\\
m^2.(cos^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + m^2.(sen^2 x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
m^2.(cos^2 x) + m^2.(sen^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
m^2.[(cos^2 x) + (sen^2 x)] – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
m^2 – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
-2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) +2m.(sen^2 x) +(sen^2 x) = 0\\
-2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + (sen^2 x).(2m + 1) = 0\\
(sen^2 x).(2m + 1) = 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x)[/tex3]
Fazendo sen x diferente de 0 (depois analisamos o que acontece caso sen x = 0), podemos cancelar:
[tex3](sen x).(2m + 1) = 2.m.(cos x).(m + 1),organizando,\\
\frac{(sen x)}{(cos x) }= \frac{2.m.(m + 1)}{(2m + 1)}\\
tg x = \frac{2.m.(m + 1)}{(2m + 1)}[/tex3]
Sabemos que a tangente de um ângulo pode assumir qualquer valor. Portanto, para qualquer valor que o segundo membro assuma, a equação terá uma resposta válida.
A única coisa que poderia nos preocupar é se o denominador dessa fração fosse igual a zero. Nesse caso, quando m = -1/2, realmente se você conferir na equação original, você terá:
sen x + cos x = 1
E pi/2 + 2k.pi satisfaz sen x + cos x = 1 e sua tg não está definida, que é o caso de termos o denominador da fração igual a zero.
Repare que se tivermos m = -1/2, temos mais uma resposta além dessa, que é x = 2k.pi, que foi a resposta que eliminamos ao cancelar sen x no desenvolvimento acima. Quando considerei que sen x era diferente de zero, era preciso ver o que acontecia quando ele fosse igual a zero!
Resposta: A equação é possível para qualquer m real.
(Solução:cinoto)
O essencial é você saber para que intervalos temos seno, cosseno e tangente de qualquer ângulo.
Como temos seno e cosseno juntos, fica difícil, por isso vamos elevar ao quadrado pra ver se eliminamos alguma coisa quando aparecer sen2 + cos2 = 1:
[tex3]m.cos x – (m + 1).sen x = m\\
m^2.(cos^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + (m + 1)^2.(sen^2 x) = m^2\\
m^2.(cos^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + (m^2 + 2m + 1).(sen^2 x) = m^2\\
m^2.(cos^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + m^2.(sen^2 x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
m^2.(cos^2 x) + m^2.(sen^2 x) – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
m^2.[(cos^2 x) + (sen^2 x)] – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
m^2 – 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + 2m.(sen^2 x) + (sen^2 x) = m^2\\
-2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) +2m.(sen^2 x) +(sen^2 x) = 0\\
-2.m.(cos x).(m + 1).(sen x) + (sen^2 x).(2m + 1) = 0\\
(sen^2 x).(2m + 1) = 2.m.(cos x).(m + 1).(sen x)[/tex3]
Fazendo sen x diferente de 0 (depois analisamos o que acontece caso sen x = 0), podemos cancelar:
[tex3](sen x).(2m + 1) = 2.m.(cos x).(m + 1),organizando,\\
\frac{(sen x)}{(cos x) }= \frac{2.m.(m + 1)}{(2m + 1)}\\
tg x = \frac{2.m.(m + 1)}{(2m + 1)}[/tex3]
Sabemos que a tangente de um ângulo pode assumir qualquer valor. Portanto, para qualquer valor que o segundo membro assuma, a equação terá uma resposta válida.
A única coisa que poderia nos preocupar é se o denominador dessa fração fosse igual a zero. Nesse caso, quando m = -1/2, realmente se você conferir na equação original, você terá:
sen x + cos x = 1
E pi/2 + 2k.pi satisfaz sen x + cos x = 1 e sua tg não está definida, que é o caso de termos o denominador da fração igual a zero.
Repare que se tivermos m = -1/2, temos mais uma resposta além dessa, que é x = 2k.pi, que foi a resposta que eliminamos ao cancelar sen x no desenvolvimento acima. Quando considerei que sen x era diferente de zero, era preciso ver o que acontecia quando ele fosse igual a zero!
Resposta: A equação é possível para qualquer m real.
(Solução:cinoto)
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