Ensino Médio

Seja m um número real. Considere o sistema linear em x, y e z. Determine a soma dos valores de m para que o sistema [tex3]\begin{cases}
mx + y + z = 1 \\
x + my + z = m \\
x + y + mz = -2
\end{cases}[/tex3] não admita soluções

Somando todas as equações temos [tex3](m+2)(x+y+z)=m-1[/tex3] consequentemente (supondo é claro que [tex3]m-2 \ne 0[/tex3] ) temos [tex3]x+y+z=\dfrac{m-1}{m-2}[/tex3] . Observe que o sistema pode ser reescrito como
[tex3]\begin{cases} (m-1)x+(x+y+z)=1 \\ (m-1)y+(x+y+z)=m \\ (m-1)z +(x+y+z)=-2 \end{cases}[/tex3] ou seja [tex3]\begin{cases} (m-1) \left(x+\dfrac{1}{m-2} \right)=1 \\ (m-1) \left(y+\dfrac{1}{m-2} \right)=m \\(m-1) \left(z+\dfrac{1}{m-2} \right)=-2 \end{cases}[/tex3]
supondo que [tex3]m \ne 1[/tex3]
[tex3]x=\dfrac{1}{m-1}-\dfrac{1}{m-2}=\dfrac{-1}{(m-2)(m-1)} \\y=\dfrac{m}{m-1}-\dfrac{1}{m-2}=\dfrac{m^2-3m+1}{(m-1)(m-2)} \\z=\dfrac{-2}{m-1}-\dfrac{1}{m-2}=\dfrac{-3m+5}{(m-1)(m-2)} [/tex3]

Então, desde que [tex3]m-1,m-2 \ne 0[/tex3] ou seja [tex3]m \ne 1,2[/tex3] , o sistema possui solução. Assim, a soma dos valores de [tex3]m[/tex3] para que o sistema não possua solução é [tex3]1+2=3[/tex3]

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