Ensino MédioMatriz Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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FISMAQUIM
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Matriz

Mensagem não lida por FISMAQUIM »

Seja M = [tex3]\begin{pmatrix}
x & y \\
-y & x \\
\end{pmatrix}[/tex3] . Determine o maior valor de x², sabendo que x [tex3]\neq [/tex3] 1 e que M¹² = I.




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Tassandro
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Re: Matriz

Mensagem não lida por Tassandro »

FISMAQUIM,
Vou rever o que estava fazendo. Agradeço pela correção do pedro1729, eu estava fazendo besteira.
Eu tava viajando loucamente para falar a verdade!

Última edição: Tassandro (Qua 08 Jul, 2020 14:36). Total de 2 vezes.


Dias de luta, dias de glória.

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FISMAQUIM
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Re: Matriz

Mensagem não lida por FISMAQUIM »

Tassandro escreveu:
Qua 08 Jul, 2020 14:01
FISMAQUIM,
Note que pela equação dada, vale que
[tex3](\det M)^{12}=1[/tex3]
Há dois casos
[tex3]\det M=x^2+y^2=1\implies x^2=1-y^2[/tex3]
Nesse caso, teríamos que o maior valor possível para x é 1, mas isso é um absurdo, logo, vamos para o segundo caso
[tex3]\det M=x^2+y^2=-1\implies x^2=-1-y^2[/tex3]
Assim, como [tex3]y^2\geq0[/tex3] , temos que o maior valor possível para [tex3]x^2[/tex3] é -1.
Consegui as alternativas para esta questão:

a) 1/4
b) 1/3
c) 2/3
d) 3/4
e) 1/2



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Re: Matriz

Mensagem não lida por Deleted User 24633 »

Tassandro escreveu:
Qua 08 Jul, 2020 14:01
FISMAQUIM,
Note que pela equação dada, vale que
[tex3](\det M)^{12}=1[/tex3]
Há dois casos
[tex3]\det M=x^2+y^2=1\implies x^2=1-y^2[/tex3]
Nesse caso, teríamos que o maior valor possível para x é 1, mas isso é um absurdo, logo, vamos para o segundo caso
[tex3]\det M=x^2+y^2=-1\implies x^2=-1-y^2[/tex3]
Assim, como [tex3]y^2\geq0[/tex3] , temos que o maior valor possível para [tex3]x^2[/tex3] é -1.
Eu acho que você não leu o que escreveu, como é o que o maior valor para [tex3]x^2[/tex3] é [tex3]-1[/tex3] ; [tex3]x^2 \ge0 >-1[/tex3]
Última edição: Deleted User 24633 (Qua 08 Jul, 2020 14:20). Total de 1 vez.



Deleted User 24633
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Jul 2020 08 14:26

Re: Matriz

Mensagem não lida por Deleted User 24633 »

Tassandro escreveu:
Qua 08 Jul, 2020 14:01
FISMAQUIM,
Note que pela equação dada, vale que
[tex3](\det M)^{12}=1[/tex3]
Há dois casos
[tex3]\det M=x^2+y^2=1\implies x^2=1-y^2[/tex3]
Nesse caso, teríamos que o maior valor possível para x é 1, mas isso é um absurdo, logo, vamos para o segundo caso
[tex3]\det M=x^2+y^2=-1\implies x^2=-1-y^2[/tex3]
Assim, como [tex3]y^2\geq0[/tex3] , temos que o maior valor possível para [tex3]x^2[/tex3] é -1.
Eu acho que você interpretou mal a questão (já que em sua outra interpretação você chegou em absurdo); o enunciado deve estar escrito [tex3]M^{12}=I[/tex3] . Ou seja [tex3]\underbrace{M\cdot M \cdot M \cdot \dots}_{12}=I[/tex3] (i.e. se você multiplica a matriz por ela mesma 12 vezes você chega na matriz identidade)
Última edição: Deleted User 24633 (Qua 08 Jul, 2020 14:27). Total de 1 vez.



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Tassandro
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Jul 2020 08 14:52

Re: Matriz

Mensagem não lida por Tassandro »

FISMAQUIM,
Essa matriz tem a cara da matriz de rotação.
Assim, seja [tex3]x=\cosθ[/tex3] e [tex3]y=-\senθ[/tex3] .
Teremos que
[tex3]\begin{pmatrix}
\cos12θ& \sen12θ \\
-\sen12θ & \cos12θ \\
\end{pmatrix}=I_2[/tex3]
Assim, [tex3]12θ=2kπ\implies θ=\frac{kπ}6[/tex3]
Note que queremos maximizar [tex3]x^2[/tex3] , assim, temos que maximizar [tex3]\cos\frac{kπ}{6}[/tex3] , lembrando sempre que [tex3]k\in\mathbb Z[/tex3]
Assim, devemos ter [tex3]k=1[/tex3] , pois assim, teremos [tex3]x=\cos\fracπ6\implies x^2=\frac34[/tex3]
Esse é o valor máximo de [tex3]x^2[/tex3]
Lembre-se da restrição (x não pode ser 1, se fosse assim, bastaria que k fosse múltiplo de 6).

Última edição: Tassandro (Qui 09 Jul, 2020 05:41). Total de 8 vezes.


Dias de luta, dias de glória.

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