Ensino Médio ⇒ Equação impossível?

[mcarvalho]

Fui informado de que provavelmente não haveria método algébrico direto para resolver essa equação, apesar de o Excel conseguir dar a resposta. Gostaria de saber de vocês:

[tex3]1000=80\cdot \(\frac{1-\frac{1}{(1+r)^{20}}}{r}\)+\frac{1280}{(1+r)^{20}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1000=80\cdot \(\frac{1-\frac{1}{(1+r)^{20}}}{r}\)+\frac{1280}{(1+r)^{20}}[/tex3]

Resposta

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6.22%

[joaovitor]

20200708_004002.jpg (73.58 KiB) Exibido 1003 vezes

Posso estar errado, mas vamos lá

Cara, simplificando ao máximo o que eu pude, eu cheguei em (1+r)²⁰ = 2(1 - 16.r)/(2 - 25r). O desenvolvimento do penúltimo pro último passo não está na imagem, mas a conclusão é aquela, de qualquer maneira.

Analisando essa equação, dá, com certeza, pra afirmar que (1+r)²⁰ nunca vai chegar a ser igual a 2(1 -16r)/(2 -25r), exceto em um caso. Você pode começar testando por valores baixos, se quiser. Ao passo que você vai testando, o lado esquerdo da equacão vai ficar MUITO maior que o direito, em alguns casos (3 ou 2, se não me engano), o lado direito chega a ser maior que esquerdo. O fato do expoente de (1+r) ser 20 (par) facilita muito enxergar isso, já que qualquer número (positivo ou negativo) elevado a outro par é positivo.

No parágrafo acima, eu disse que (1+r)²⁰ seria igual a 2(1 - 16.r)/(2 - 25.r) em apenas um caso. Acredito que seja tranquilo de enxergar que esse caso é r= 0. Entretanto, a condição para a equação dada existir é, justamente, r ≠ 0, pois há r no denominador do fator que multiplica 80. Se a única solução possível era 0, mas r tem de ser diferente de 0, então a equação é impossível.

Sobre a solução que o Excel encontrou, quando eu aplico o valor r = 6,22%, o valor da expressão passa longe 1000, creio que não esteja correta.


Agora, uma coisa estranha que eu notei. Se (1+r)²⁰ = 2(1 -16.r)/(2 - 25r), então podemos substuir esse valor na expressão original. Ao fazermos isso, você encontrará duas expressões idênticas em cada membro com a icognita r, ou seja, dessa forma, QUALQUER valor de r satisfaz a expressão. A equação deixa de ser impossível e torna-se uma equação identidade, admitindo infinitas soluções.


E eu realmente não faço ideia de como isso é possível, então eu tenho uma equação impossível e identidade ao mesmo tempo? Enfim, acredito que este tópico mereça outras conclusões além das que eu apresentei aqui, para realmente termos um veredito. Mas o que realmente me intriga é essa última parte, da equação ser impossível e identidade ao mesmo tempo... Talvez eu tenha feito alguma coisa que não poderia ter feito, enfim. Me corrijam se estiver errado totalmente ou em partes, etc.


De qualquer modo, tentei deixar minha contribuição. Espero que seja útil

[joaovitor]

joaovitor, muito obrigado pelo retorno!

Análise interessante e eu concordo com tudo.

Fui olhar com calma a equação e na verdade eu a havia errado. Já peço desculpas por isso! Vou dar um pouco de contexto dessa questão:

É sobre matemática financeira, cálculo de investimentos. A resposta que eles dão é 6.22%, mas na resolução dizem que não há método algébrico de solucioná-la à mão, então falam que ou você monta a equação e vai testando as quatro alternativas da pergunta, ou você usa a função RATE do Excel. Na "resolução", eles não mostram qual seria essa equação.

Vou transcrever o enunciado aqui da questão, de qualquer jeito:

Consider a bond, which pays $80 in annual coupon, and has a face value of $1,000. What is its yield to maturity if the bond has 20 years remaining until maturity and currently selling for $1,200?

Eu percebi que eu montei errado. Na verdade, acho que a equação correta é a seguinte:

[tex3]1200=80\cdot \(\frac{1-\frac{1}{(1+r)^{20}}}{r}\)+\frac{1000}{(1+r)^{20}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1200=80\cdot \(\frac{1-\frac{1}{(1+r)^{20}}}{r}\)+\frac{1000}{(1+r)^{20}}[/tex3]

Estou confiante dessa vez porque de fato, substituindo r = 0,0622, chegamos em algo muito muito próximo do esperado (e daí o resto deve ser problema de arredondamento), e agora a resolução está de acordo com outros problemas parecidos que fiz, também.

Peço desculpas pelo erro, mas acho que na prática as conclusões (e as dúvidas?) que você chegou vão permanecer as mesmas, e era isso que eu queria ver mesmo quando postei o tópico aqui. Obrigado novamente!

E espero que alguém mais venha também dar sua opinião sobre a possibilidade de ser identidade, de ser impossível, tudo ao mesmo tempo

[mcarvalho]

No fundo, sabemos que a taxa r vai ser pequena, então usando a conhecida aproximação [tex3](1+x)^n\approx 1+nx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1+x)^n\approx 1+nx[/tex3]

podemos chegar em:

[tex3]80\cdot \(\frac{1-\frac{1}{(1+r)^{20}}}{r}\)+\frac{1000}{(1+r)^{20}}\approx80\cdot \(\frac{1-\frac{1}{1+20r}}{r}\)+\frac{1000}{1+20r}=1200\\
\frac{80(1+20r)\cdot \frac{20r}{1+20r}+1000r}{r(1+20r)}=1200\rightarrow 1600r+1000r=1200r(1+20r)\\
2600=1200+24000r\rightarrow \boxed{r\approx 0,05833..}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]80\cdot \(\frac{1-\frac{1}{(1+r)^{20}}}{r}\)+\frac{1000}{(1+r)^{20}}\approx80\cdot \(\frac{1-\frac{1}{1+20r}}{r}\)+\frac{1000}{1+20r}=1200\\
\frac{80(1+20r)\cdot \frac{20r}{1+20r}+1000r}{r(1+20r)}=1200\rightarrow 1600r+1000r=1200r(1+20r)\\
2600=1200+24000r\rightarrow \boxed{r\approx 0,05833..}[/tex3]

Que me parece uma aproximação bastante justa dadas as condições.