Considere que três números reais distintos formam um conjunto aritmético se um dos números for a média dos outros dois. Considere o conjunto [tex3]A_n=\{1,2,3,...,n\}[/tex3]
em que [tex3]n [/tex3]
é um inteiro positivo, [tex3]n \geq 3[/tex3]
a) Quantos são os conjuntos aritméticos formados a partir de [tex3]A_{10}[/tex3]
?
b) Determine o menor [tex3]n[/tex3]
, tal que o número de conjuntos aritméticos em [tex3]A_n[/tex3]
é maior que [tex3]2004[/tex3]
.
Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória - Preparação ITA Tópico resolvido
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Matheusrpb 
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Jun 2020
11
12:36
Re: Análise Combinatória - Preparação ITA
goncalves3718, bom dia !
[tex3]I.[/tex3] Os conjuntos pedidos são da forma:
[tex3]\(x, \frac{x+y}2, y\)[/tex3]
É essencial notar que [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] devem possuir a mesma paridade para que [tex3]\frac{x+y}2 \in \mathbb{N}[/tex3] .
[tex3]II.[/tex3] Agora, precisamos dividir a questão em dois casos:
[tex3]i)[/tex3] [tex3]n[/tex3] é par:
Se [tex3]n[/tex3] for par, teremos [tex3]\frac n2[/tex3] números pares e [tex3]\frac n2[/tex3] números ímpares:
[tex3]1 \ \rightarrow \ \frac n2[/tex3]
[tex3]3 \ \rightarrow \ \frac n2 -1[/tex3]
[tex3]5 \ \rightarrow \ \frac n2 -2[/tex3]
.
.
.
[tex3]n-1 \ \rightarrow \ \frac n2 - \frac n2[/tex3]
As relações acima representam, para cada número ímpar, o total de números que eu posso somar a ele e que o resultado seja um número par. Perceba que o total para todos os números seria [tex3]\frac n2[/tex3] , mas para não contar o mesmo conjunto duas vezes, eu vou retirando uma unidade à medida que eu aumento o número, pois o conjunto [tex3]\(1,\frac{1+3}2,3\)[/tex3] é igual ao conjunto [tex3]\(3,\frac{3+1}2,1\)[/tex3] , por exemplo. Note que, se fizermos para os números pares, acharemos exatamente as mesmas relações. Logo, o total de conjuntos, para [tex3]n[/tex3] par, será:
[tex3]N_{par}=2\cdot\[\frac n2 +\(\frac n2 -1\)+\(\frac n2 -2\)+ ...+\(\frac n2- \frac n2\)\][/tex3]
[tex3]N_{par}=2\cdot\[\frac {n}2\cdot\frac n2-\(1+2+...+\frac n2\)\][/tex3]
[tex3]N_{par}=2\cdot\[\frac{n^2}4-\(\frac n2 +1\)\frac n4\][/tex3]
[tex3]N_{par}=2\cdot\[\frac{n^2}4-\frac{n^2}8-\frac n4\][/tex3]
[tex3]N_{par}=2n\(\frac n4 - \frac n8 -\frac14\)[/tex3]
[tex3]\boxed{N_{par}= \frac{n(n-2)}4}[/tex3]
[tex3]ii)[/tex3] [tex3]n[/tex3] é ímpar:
Se [tex3]n[/tex3] for ímpar, teremos [tex3]\frac{n+1}2[/tex3] números ímpares e [tex3]\frac{n-1}2[/tex3] números pares. Trabalhando de forma análoga ao que foi feito anteriormente:
Ímpares:
[tex3]1 \ \rightarrow \ \frac{ n+1}2[/tex3]
[tex3]3 \ \rightarrow \ \frac {n+1}2 -1[/tex3]
[tex3]5 \ \rightarrow \ \frac {n+1}2 -2[/tex3]
.
.
.
[tex3]n \ \rightarrow \ \frac {n+1}2 - \frac {n+1}2[/tex3]
Pares:
[tex3]2 \ \rightarrow \ \frac{ n-1}2[/tex3]
[tex3]4 \ \rightarrow \ \frac {n-1}2 -1[/tex3]
[tex3]6 \ \rightarrow \ \frac {n-1}2 -2[/tex3]
.
.
.
[tex3]n-1 \ \rightarrow \ \frac {n-1}2 - \frac {n-1}2[/tex3]
Logo, o total de conjuntos, para [tex3]n[/tex3] ímpar, será:
[tex3]N_{ímpar}=\[\frac{n+1}2+\(\frac{n+1}2-1\)+\(\frac{n+1}2-2\)+...+\(\frac{n+1}2-\frac{n+1}2\)\]+\[\frac{n-1}2+\(\frac{n-1}2-1\)+\(\frac{n-1}2-2\)+...+\(\frac{n-1}2-\frac{n-1}2\)\][/tex3]
[tex3]N_{ímpar}= \[\frac{n+1}2\cdot \frac{n+1}2-\(1+2+...+\frac{n+1}2\)\]+ \[\frac{n-1}2\cdot \frac{n-1}2-\(1+2+...+\frac{n-1}2\)\][/tex3]
[tex3]N_{ímpar}= \frac{\(n+1\)^2}4-\(\frac{n+1}2+1\)\cdot \frac{n+1}4+\frac{\(n-1\)^2}4-\(\frac{n-1}2+1\)\cdot \frac{n-1}4[/tex3]
[tex3]N_{ímpar}= \frac{\(n+1\)^2}8-\frac{n+1}4+\frac{\(n-1\)^2}8-\frac{n-1}4[/tex3]
[tex3]N_{ímpar}= \frac{(n+1)(n-1)}8+\frac{(n-1)(n-3)}8[/tex3]
[tex3]\boxed{N_{ímpar}= \frac{(n-1)^2}4}[/tex3]
Agora, podemos responder as alternativas com facilidade:
[tex3]A)[/tex3] [tex3]n =10[/tex3] :
[tex3]N=\frac{n(n-2)}4[/tex3]
[tex3]N = \frac{ 10\cdot 8}2[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{N=20}}[/tex3]
[tex3]B)[/tex3]
[tex3]n[/tex3] é par:
[tex3]\frac{n(n-2)}4>2004[/tex3]
[tex3]n(n-2)>8016 \ \rightarrow \ 92\cdot 90 =8280 \ \rightarrow n_{par}=92[/tex3]
[tex3]n[/tex3] é ímpar:
[tex3]\frac{(n-1)^2}4>2004[/tex3]
[tex3](n-1)^2>8016 \ \rightarrow \ 90\cdot 90 =8100 \ \rightarrow \ n_{ímpar}=91[/tex3]
Como [tex3]n_{ímpar} < n_{par}[/tex3] :
[tex3]\boxed{\boxed{n=91}}[/tex3]
[tex3]I.[/tex3] Os conjuntos pedidos são da forma:
[tex3]\(x, \frac{x+y}2, y\)[/tex3]
É essencial notar que [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] devem possuir a mesma paridade para que [tex3]\frac{x+y}2 \in \mathbb{N}[/tex3] .
[tex3]II.[/tex3] Agora, precisamos dividir a questão em dois casos:
[tex3]i)[/tex3] [tex3]n[/tex3] é par:
Se [tex3]n[/tex3] for par, teremos [tex3]\frac n2[/tex3] números pares e [tex3]\frac n2[/tex3] números ímpares:
[tex3]1 \ \rightarrow \ \frac n2[/tex3]
[tex3]3 \ \rightarrow \ \frac n2 -1[/tex3]
[tex3]5 \ \rightarrow \ \frac n2 -2[/tex3]
.
.
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[tex3]n-1 \ \rightarrow \ \frac n2 - \frac n2[/tex3]
As relações acima representam, para cada número ímpar, o total de números que eu posso somar a ele e que o resultado seja um número par. Perceba que o total para todos os números seria [tex3]\frac n2[/tex3] , mas para não contar o mesmo conjunto duas vezes, eu vou retirando uma unidade à medida que eu aumento o número, pois o conjunto [tex3]\(1,\frac{1+3}2,3\)[/tex3] é igual ao conjunto [tex3]\(3,\frac{3+1}2,1\)[/tex3] , por exemplo. Note que, se fizermos para os números pares, acharemos exatamente as mesmas relações. Logo, o total de conjuntos, para [tex3]n[/tex3] par, será:
[tex3]N_{par}=2\cdot\[\frac n2 +\(\frac n2 -1\)+\(\frac n2 -2\)+ ...+\(\frac n2- \frac n2\)\][/tex3]
[tex3]N_{par}=2\cdot\[\frac {n}2\cdot\frac n2-\(1+2+...+\frac n2\)\][/tex3]
[tex3]N_{par}=2\cdot\[\frac{n^2}4-\(\frac n2 +1\)\frac n4\][/tex3]
[tex3]N_{par}=2\cdot\[\frac{n^2}4-\frac{n^2}8-\frac n4\][/tex3]
[tex3]N_{par}=2n\(\frac n4 - \frac n8 -\frac14\)[/tex3]
[tex3]\boxed{N_{par}= \frac{n(n-2)}4}[/tex3]
[tex3]ii)[/tex3] [tex3]n[/tex3] é ímpar:
Se [tex3]n[/tex3] for ímpar, teremos [tex3]\frac{n+1}2[/tex3] números ímpares e [tex3]\frac{n-1}2[/tex3] números pares. Trabalhando de forma análoga ao que foi feito anteriormente:
Ímpares:
[tex3]1 \ \rightarrow \ \frac{ n+1}2[/tex3]
[tex3]3 \ \rightarrow \ \frac {n+1}2 -1[/tex3]
[tex3]5 \ \rightarrow \ \frac {n+1}2 -2[/tex3]
.
.
.
[tex3]n \ \rightarrow \ \frac {n+1}2 - \frac {n+1}2[/tex3]
Pares:
[tex3]2 \ \rightarrow \ \frac{ n-1}2[/tex3]
[tex3]4 \ \rightarrow \ \frac {n-1}2 -1[/tex3]
[tex3]6 \ \rightarrow \ \frac {n-1}2 -2[/tex3]
.
.
.
[tex3]n-1 \ \rightarrow \ \frac {n-1}2 - \frac {n-1}2[/tex3]
Logo, o total de conjuntos, para [tex3]n[/tex3] ímpar, será:
[tex3]N_{ímpar}=\[\frac{n+1}2+\(\frac{n+1}2-1\)+\(\frac{n+1}2-2\)+...+\(\frac{n+1}2-\frac{n+1}2\)\]+\[\frac{n-1}2+\(\frac{n-1}2-1\)+\(\frac{n-1}2-2\)+...+\(\frac{n-1}2-\frac{n-1}2\)\][/tex3]
[tex3]N_{ímpar}= \[\frac{n+1}2\cdot \frac{n+1}2-\(1+2+...+\frac{n+1}2\)\]+ \[\frac{n-1}2\cdot \frac{n-1}2-\(1+2+...+\frac{n-1}2\)\][/tex3]
[tex3]N_{ímpar}= \frac{\(n+1\)^2}4-\(\frac{n+1}2+1\)\cdot \frac{n+1}4+\frac{\(n-1\)^2}4-\(\frac{n-1}2+1\)\cdot \frac{n-1}4[/tex3]
[tex3]N_{ímpar}= \frac{\(n+1\)^2}8-\frac{n+1}4+\frac{\(n-1\)^2}8-\frac{n-1}4[/tex3]
[tex3]N_{ímpar}= \frac{(n+1)(n-1)}8+\frac{(n-1)(n-3)}8[/tex3]
[tex3]\boxed{N_{ímpar}= \frac{(n-1)^2}4}[/tex3]
Agora, podemos responder as alternativas com facilidade:
[tex3]A)[/tex3] [tex3]n =10[/tex3] :
[tex3]N=\frac{n(n-2)}4[/tex3]
[tex3]N = \frac{ 10\cdot 8}2[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{N=20}}[/tex3]
[tex3]B)[/tex3]
[tex3]n[/tex3] é par:
[tex3]\frac{n(n-2)}4>2004[/tex3]
[tex3]n(n-2)>8016 \ \rightarrow \ 92\cdot 90 =8280 \ \rightarrow n_{par}=92[/tex3]
[tex3]n[/tex3] é ímpar:
[tex3]\frac{(n-1)^2}4>2004[/tex3]
[tex3](n-1)^2>8016 \ \rightarrow \ 90\cdot 90 =8100 \ \rightarrow \ n_{ímpar}=91[/tex3]
Como [tex3]n_{ímpar} < n_{par}[/tex3] :
[tex3]\boxed{\boxed{n=91}}[/tex3]
Por que você me deixa tão solto ? E se eu me interessar por alguém ?
-
Tassandro 
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Jun 2020
11
13:02
Re: Análise Combinatória - Preparação ITA
goncalves3718,
O segredo é procurar por "conjuntos simétricos". Explico melhor...
Para um conjunto ser simétrico ele tem que ser da forma
[tex3]\{...,a-k,\underbrace{...}_{k-1\text{ elementos}},a,\underbrace{...}_{k-1\text{ elementos}},a+k,...\}[/tex3]
Considerando [tex3]A_{10}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}[/tex3]
Com o 1 e com o 10 não temos simetria.
Com o 2 e com o 9 temos 1 simetria (o que dá 2 conjuntos).
Com o 3 e com o 8 temos 2 simetrias (4)
Com o 4 e com o 7 temos 3 simetrias (6)
Com o 5 e com o 6 temos 4 simetrias (8)
Logo, em [tex3]A_{10},[/tex3] temos 2+4+6+8=20 conjuntos aritméticos.
Para a letra b vamos usar o mesmo raciocínio
[tex3]A_{n}=\{1,2,...,n\}[/tex3]
Observe que a cada elemento que avançamos, o número de simetrias aumenta em 1.
Se n for par, as simetrias ocorrem em pares, desde o par [tex3]2,n-1[/tex3] até o par [tex3]\frac n2,\frac n2+1[/tex3] , logo, temos [tex3]\frac{n-1}{2}[/tex3] simetrias.
Assim, o total de conjuntos simétricos (ou melhor, aritméticos) será dado por
[tex3]2(1+2+...+\frac{n-1}{2})=(1+\frac{(n-1)}{2})\cdot\frac{n-1}{2}[/tex3]
Fazendo [tex3]n=10,[/tex3] dá certo!
Agora, para n ímpar, é fácil ver que ganhamos mais duas simetrias. Então basta somar [tex3]2[/tex3] ao que acabamos de achar...
Agora basta fazer [tex3]\text{ Número de casos}>2004[/tex3] . Observe que para obter o menor n, vamos usar o caso ímpar, já que ele gera mais casos. Logo,
[tex3]\(1+\frac{n-1}2\)\frac{(n-1)}{2}+2>2004 [/tex3]
Resolvendo, achamos
[tex3]\frac{n-1}{2}\leq45\to n\geq91[/tex3]
Logo, [tex3]n_{mín}=91.[/tex3]
O segredo é procurar por "conjuntos simétricos". Explico melhor...
Para um conjunto ser simétrico ele tem que ser da forma
[tex3]\{...,a-k,\underbrace{...}_{k-1\text{ elementos}},a,\underbrace{...}_{k-1\text{ elementos}},a+k,...\}[/tex3]
Considerando [tex3]A_{10}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}[/tex3]
Com o 1 e com o 10 não temos simetria.
Com o 2 e com o 9 temos 1 simetria (o que dá 2 conjuntos).
Com o 3 e com o 8 temos 2 simetrias (4)
Com o 4 e com o 7 temos 3 simetrias (6)
Com o 5 e com o 6 temos 4 simetrias (8)
Logo, em [tex3]A_{10},[/tex3] temos 2+4+6+8=20 conjuntos aritméticos.
Para a letra b vamos usar o mesmo raciocínio
[tex3]A_{n}=\{1,2,...,n\}[/tex3]
Observe que a cada elemento que avançamos, o número de simetrias aumenta em 1.
Se n for par, as simetrias ocorrem em pares, desde o par [tex3]2,n-1[/tex3] até o par [tex3]\frac n2,\frac n2+1[/tex3] , logo, temos [tex3]\frac{n-1}{2}[/tex3] simetrias.
Assim, o total de conjuntos simétricos (ou melhor, aritméticos) será dado por
[tex3]2(1+2+...+\frac{n-1}{2})=(1+\frac{(n-1)}{2})\cdot\frac{n-1}{2}[/tex3]
Fazendo [tex3]n=10,[/tex3] dá certo!
Agora, para n ímpar, é fácil ver que ganhamos mais duas simetrias. Então basta somar [tex3]2[/tex3] ao que acabamos de achar...
Agora basta fazer [tex3]\text{ Número de casos}>2004[/tex3] . Observe que para obter o menor n, vamos usar o caso ímpar, já que ele gera mais casos. Logo,
[tex3]\(1+\frac{n-1}2\)\frac{(n-1)}{2}+2>2004 [/tex3]
Resolvendo, achamos
[tex3]\frac{n-1}{2}\leq45\to n\geq91[/tex3]
Logo, [tex3]n_{mín}=91.[/tex3]
Última edição: Tassandro (Qui 11 Jun, 2020 13:17). Total de 2 vezes.
Dias de luta, dias de glória.
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