Ensino Médio

Se possível, uma solução sem Briot Rufini.

Seja o sistema:

[tex3]\begin{cases}
a³+9a²b=10 \\
b³+ab²=2
\end{cases}[/tex3]

Quais o valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3]

Sem fatorar raízes fica mais complicado, se ninguém fizer, posto a minha solução na tarde de hoje

[tex3](x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3[/tex3]

[tex3]a^3+3.a^3(3b)=10[/tex3]
[tex3]b^3+ab^2=2 \rightarrow 27b^3+3.a(3b)^3=54[/tex3]

Soma as duas e aparece o cubo da soma:
[tex3](a+3b)^3=64 \rightarrow a+3b=4 \rightarrow a=4-3b[/tex3]

Substituindo na segunda:
[tex3]b^3+(4-3b)b^2=2 \rightarrow -2b^3+4b^2=2 \rightarrow b^3-2b^2+1=0[/tex3]

Cara, a partir daqui não tem como, tem que resolver a cúbica de algum jeito, e é fácil ver que 1 é raiz, então basta reduzir o grau e resolver o bháskara pra achar as outras duas raízes.

[tex3]b^3-2b^2+1=0 \rightarrow (b-1)(b^2-b-1)=0[/tex3] , então as outras raízes são [tex3]b= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex3]

Lembrando que [tex3]a=4-3b[/tex3] , então as soluções são [tex3](1,1)[/tex3] , [tex3](\frac{5-3\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2})[/tex3] e [tex3](\frac{5+3\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2})[/tex3]

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