Ensino Médio ⇒ Um problema clássico de Aritmética Tópico resolvido
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Mai 2020
29
16:11
Um problema clássico de Aritmética
Sejam [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
inteiros e [tex3]n[/tex3]
um número natural. Mostre que se [tex3]a\times b[/tex3]
é uma potência n-ésima e [tex3]mdc(a, b) = 1[/tex3]
, então [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
são potências n-ésimas.
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Tassandro 
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Jun 2020
16
14:25
Re: Um problema clássico de Aritmética
pedro1729,
Sejam [tex3]a=a_1^α\cdot a_2^β\cdot ..
.\cdot a_k^γ[/tex3] e [tex3]b=b_1^θ\cdot b_2^Δ\cdot...\cdot b_l^π[/tex3] as decomposições em fatores primos de [tex3]a[/tex3] e de [tex3]b.[/tex3] Sabemos que [tex3]a\cdot b=c^n[/tex3] , assim,
[tex3]a_1^α\cdot a_2^β\cdot ..
.\cdot a_k^γ\cdot b_1^θ\cdot b_2^Δ\cdot...\cdot b_l^π=c^n.[/tex3] Como sabemos, todos esses [tex3]a_i[/tex3] e [tex3]b_j[/tex3] da vida são primos entre si, então, ao multiplicarmos, os seus expoentes não mudam. Mas, por hipótese, o produto desses números é algo da forma [tex3]c_1^n\cdot c_2^n\cdot ...\cdot c_m^n.[/tex3] , em que esses [tex3]c_k[/tex3] são os fatores primos de [tex3]c.[/tex3] Ora, mas obviamente os fatores primos de c serão o próprio produto dos fatores primos de a e de b, que estão elevados à n-ésima potência. Logo, como temos uma igualdade, o expoente de cada número deve ser o mesmo nos dois lados da equação. Assim, [tex3]a_1,a_2,...,a_k[/tex3] e [tex3]b_1,b_2,...,b_l[/tex3] possuem todos o mesmo expoente, a saber, [tex3]n.[/tex3] Como sabemos, o produto das potências é a potência dos produtos, assim, [tex3]a=a_1^n\cdot a_2^n\cdot...\cdot a_k^n=(a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_k)^n[/tex3] e, de modo análogo, [tex3]b=(b_1\cdot b_2\cdot...\cdot b_l)^n.[/tex3]
Portanto, a e b são, de fato, potências n-ésimas.
Sejam [tex3]a=a_1^α\cdot a_2^β\cdot ..
.\cdot a_k^γ[/tex3] e [tex3]b=b_1^θ\cdot b_2^Δ\cdot...\cdot b_l^π[/tex3] as decomposições em fatores primos de [tex3]a[/tex3] e de [tex3]b.[/tex3] Sabemos que [tex3]a\cdot b=c^n[/tex3] , assim,
[tex3]a_1^α\cdot a_2^β\cdot ..
.\cdot a_k^γ\cdot b_1^θ\cdot b_2^Δ\cdot...\cdot b_l^π=c^n.[/tex3] Como sabemos, todos esses [tex3]a_i[/tex3] e [tex3]b_j[/tex3] da vida são primos entre si, então, ao multiplicarmos, os seus expoentes não mudam. Mas, por hipótese, o produto desses números é algo da forma [tex3]c_1^n\cdot c_2^n\cdot ...\cdot c_m^n.[/tex3] , em que esses [tex3]c_k[/tex3] são os fatores primos de [tex3]c.[/tex3] Ora, mas obviamente os fatores primos de c serão o próprio produto dos fatores primos de a e de b, que estão elevados à n-ésima potência. Logo, como temos uma igualdade, o expoente de cada número deve ser o mesmo nos dois lados da equação. Assim, [tex3]a_1,a_2,...,a_k[/tex3] e [tex3]b_1,b_2,...,b_l[/tex3] possuem todos o mesmo expoente, a saber, [tex3]n.[/tex3] Como sabemos, o produto das potências é a potência dos produtos, assim, [tex3]a=a_1^n\cdot a_2^n\cdot...\cdot a_k^n=(a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_k)^n[/tex3] e, de modo análogo, [tex3]b=(b_1\cdot b_2\cdot...\cdot b_l)^n.[/tex3]
Portanto, a e b são, de fato, potências n-ésimas.
Dias de luta, dias de glória.
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Deleted User 24633
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Jun 2020
16
15:47
Re: Um problema clássico de Aritmética
Obrigado Tassandro!
Já vi esse problema sendo usado como Lema em algumas demonstrações ou como problema em si; me parecia muito óbvio, no entanto, eu não conseguia chegar em uma demonstração formal (parece que esses são os problemas mais difíceis).
Já vi esse problema sendo usado como Lema em algumas demonstrações ou como problema em si; me parecia muito óbvio, no entanto, eu não conseguia chegar em uma demonstração formal (parece que esses são os problemas mais difíceis).
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Tassandro
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Jun 2020
16
16:29
Re: Um problema clássico de Aritmética
pedro1729,
De nada!
De fato, esses são problemas difíceis!
De nada!
De fato, esses são problemas difíceis!
Dias de luta, dias de glória.
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