Ensino Médio ⇒ Relações Incentro-Exincentro

[Deleted User 23699]

Esse tópico provavelmente irá demorar muito para ser concluído, mas se resolvido, sem dúvidas, acrescentará muito no fórum... não consegui resolver. Se cada um for ajudando, esse tópico fica fantástico

Letras em verde já foram provadas no decorrer do tópico.

Seja I o incentro do triângulo ABC e sejam Ia, Ib e Ic os ex-incentros relativos, respectivamente, aos lados a, b e c. Demonstre que:

a)[tex3]AI.AI_{a}=AI_{b}.AI_{c}=bc\\
BI.BI_{b}=BI_{a}.BI_{c}=ac\\
CI.CI_{c}=CI_{a}.CI_{c}=ab[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AI.AI_{a}=AI_{b}.AI_{c}=bc\\
BI.BI_{b}=BI_{a}.BI_{c}=ac\\
CI.CI_{c}=CI_{a}.CI_{c}=ab[/tex3]

b) [tex3]AI^2=bc-4Rr \\
BI^2=ac-4Rr\\
CI^2=ab-4Rr[/tex3]

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[tex3]AI^2=bc-4Rr \\
BI^2=ac-4Rr\\
CI^2=ab-4Rr[/tex3]

c) [tex3]AI.BI.CI=4R^2r^2[/tex3]

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[tex3]AI.BI.CI=4R^2r^2[/tex3]

d) [tex3]AI_{a}.BI_{a}.CI_{a}=4R^2r_{a}^2[/tex3]

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[tex3]AI_{a}.BI_{a}.CI_{a}=4R^2r_{a}^2[/tex3]

e) [tex3]II_{a}=4Rsen(A/2)[/tex3]

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[tex3]II_{a}=4Rsen(A/2)[/tex3]

f) [tex3]I_{b}I_{c}=4Rcos(A/2)[/tex3]

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[tex3]I_{b}I_{c}=4Rcos(A/2)[/tex3]

g) [tex3]II_{a}.II_{b}.II_{c}=16R^2r[/tex3]

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[tex3]II_{a}.II_{b}.II_{c}=16R^2r[/tex3]

h) [tex3]I_{a}I_{b}.I_{a}I_{c}.I_{b}Ic_{n}=16R^2p[/tex3]

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[tex3]I_{a}I_{b}.I_{a}I_{c}.I_{b}Ic_{n}=16R^2p[/tex3]

i) [tex3](II_{a})^2+(I_{b}I_{c})^2=(II_{b})^2+(I_{a}I_{c})^2=(II_{c})^2+(I_{a}I_{b})^2=16R^2[/tex3]

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[tex3](II_{a})^2+(I_{b}I_{c})^2=(II_{b})^2+(I_{a}I_{c})^2=(II_{c})^2+(I_{a}I_{b})^2=16R^2[/tex3]

j) [tex3]II_{a}.I_{b}I_{c}=4aR[/tex3]

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[tex3]II_{a}.I_{b}I_{c}=4aR[/tex3]

k) [tex3]\frac{II_{a}}{I_{b}I_{c}}=\frac{r}{p-a}=\frac{r_{a}}{p}[/tex3]

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[tex3]\frac{II_{a}}{I_{b}I_{c}}=\frac{r}{p-a}=\frac{r_{a}}{p}[/tex3]

l) [tex3](I_{a}I_{b})^2+(I_{a}I_{c})^2+(I_{b}I_{c})^2=8R(r_{a}+r_{b}+r_{c})[/tex3]

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[tex3](I_{a}I_{b})^2+(I_{a}I_{c})^2+(I_{b}I_{c})^2=8R(r_{a}+r_{b}+r_{c})[/tex3]

[Deleted User 23699]

Demonstração da letra B

[tex3]\text{Pelo teorema da bissetriz, demonstração comum:}\\
\frac{AI}{\beta _{a}}=\frac{b+c}{a+b+c}\\
\text{Pelo teorema da bissetriz em conjunto com leis dos cossenos:}\\
\beta _{a}=\sqrt{bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}}\\
\text{Logo,}\\
AI^2=\frac{(b+c)^2}{(a+b+c)^2}\cdot \left(bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}\right)\\
\text{mas...}\space(a+b+c)^2=4p^2\\
AI^2=\frac{bc[(b+c)^2-a^2]}{4p^2}\\
\text{mas...}\space
(b+c)=(2p-a)\\
AI^2=\frac{bc[(2p-a)^2-a^2]}{4p^2}\\
\text{mas...}\space S=pr \space \text{...e também...} \space S=abc/(4R)\\
AI^2=\frac{bc[4p^2-4ap+a^2-a^2]}{4p^2}=\frac{4bcp(p-a)}{4p^2}=\frac{bc(p-a)}{p}\\
AI^2=\frac{bcp-abc}{p}=\frac{bc\frac{S}{r}-S(4R)}{\frac{S}{r}}\rightarrow AI^2=bc-4Rr\\
\text{mesmo raciocínio e procedimento para os outros...}[/tex3]

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[tex3]\text{Pelo teorema da bissetriz, demonstração comum:}\\
\frac{AI}{\beta _{a}}=\frac{b+c}{a+b+c}\\
\text{Pelo teorema da bissetriz em conjunto com leis dos cossenos:}\\
\beta _{a}=\sqrt{bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}}\\
\text{Logo,}\\
AI^2=\frac{(b+c)^2}{(a+b+c)^2}\cdot \left(bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}\right)\\
\text{mas...}\space(a+b+c)^2=4p^2\\
AI^2=\frac{bc[(b+c)^2-a^2]}{4p^2}\\
\text{mas...}\space
(b+c)=(2p-a)\\
AI^2=\frac{bc[(2p-a)^2-a^2]}{4p^2}\\
\text{mas...}\space S=pr \space \text{...e também...} \space S=abc/(4R)\\
AI^2=\frac{bc[4p^2-4ap+a^2-a^2]}{4p^2}=\frac{4bcp(p-a)}{4p^2}=\frac{bc(p-a)}{p}\\
AI^2=\frac{bcp-abc}{p}=\frac{bc\frac{S}{r}-S(4R)}{\frac{S}{r}}\rightarrow AI^2=bc-4Rr\\
\text{mesmo raciocínio e procedimento para os outros...}[/tex3]

Aproveitando essa resposta para postar este vídeo, que aborda um "tema exótico": distância entre incentro e ex-incentro

Resposta

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https://www.youtube.com/watch?v=6K0RxG0OuN4