Ensino Médio ⇒ equação no conjunto dos Complexos Tópico resolvido

[jeabud]

Resolva a equação nos complexos
x³ + 6x² + 1 = 0
gab: não tenho

[Deleted User 23699]

[tex3]x^3+6x^2+1=0\\
\text{Por transformada polinomial, queremos obter um polinômio sem x^2:}\\
\text{Teorema: o valor que elimina o termo de k-ésimo grau é raíz da k-ésima derivada do polinômio original.}\\
x^3+6x^2+1=0\rightarrow 3x^2+12x=0\rightarrow 6x+12=0\rightarrow x=-2\\
x'=x+2\\
\text{Pelo dispositivo de Horner-Ruffini obtemos nosso novo polinômio após usar a transformada:}\\
x^3-12x+17=0\\
\text{Agora temos um polinômio cujas raízes são iguais às raízes originais que queremos somadas com 2}\\
\text{Basta aplicar o Método de Cardano-Tartaglia:}\\
x^3+px+q=0\rightarrow x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^3+6x^2+1=0\\
\text{Por transformada polinomial, queremos obter um polinômio sem x^2:}\\
\text{Teorema: o valor que elimina o termo de k-ésimo grau é raíz da k-ésima derivada do polinômio original.}\\
x^3+6x^2+1=0\rightarrow 3x^2+12x=0\rightarrow 6x+12=0\rightarrow x=-2\\
x'=x+2\\
\text{Pelo dispositivo de Horner-Ruffini obtemos nosso novo polinômio após usar a transformada:}\\
x^3-12x+17=0\\
\text{Agora temos um polinômio cujas raízes são iguais às raízes originais que queremos somadas com 2}\\
\text{Basta aplicar o Método de Cardano-Tartaglia:}\\
x^3+px+q=0\rightarrow x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}[/tex3]

Acredito que exista outro método

[jeabud]

Zhadnyy,
Como ficou x^3-12x+17=0?

[Deleted User 23699]

jeabud

Usei dois temas pouco conhecidos para polinômios:
1. Transformadas polinomiais: imagine que possuo um polinômio qualquer. Podemos pegar como exemplo esse do problema. Eu tenho, como informação inicial, que ele é da forma

[tex3]ax^3+bx^2+d=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ax^3+bx^2+d=0[/tex3]

E sei que existe o método de Cardano para encontrar raízes de polinômios de terceiro grau QUE NÃO POSSUEM COEFICIENTE DE SEGUNDO GRAU. Oras... mas segundo a teoria das transformadas polinomiais, posso fazer uma transformação no meu polinômio original de modo que eu saiba uma relação das raízes de outro polinômio com as raízes do polinômio original...
Com transformadas, por exemplo, podemos resolver o seguinte problema:
Temos um determinado polinômio com raízes X, Y e Z. Do terceiro grau, apenas como exemplo.
Qual polinômio possui raízes iguais a X + 2, Y+2 e Z+2?
É essa a ideia das transformadas...
Ela muda nosso polinômio e nos fornece uma relação entre as raízes originais e as novas.
Podemos usar essas transformadas para eliminar alguns termos do nosso polinômio original. Observe.

2. Teorema das Derivadas: o valor que elimina o termo de k-ésimo grau do meu polinômio é raíz da sua k-ésima derivada.
Oras... Queremos eliminar o termo de segundo grau para aplicarmos Cardano!
Basta derivar duas vezes e encontrar a raíz da equação resultante...
Vou derivar:

[tex3]x^3+6x^2+1=0\rightarrow 3x^2+12x=0\rightarrow 6x+12=0\rightarrow x=-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^3+6x^2+1=0\rightarrow 3x^2+12x=0\rightarrow 6x+12=0\rightarrow x=-2[/tex3]

Com isso, sei que se eu fizer a substituição
x' = x - alfa, onde alfa é o valor que queremos colocar no polinômio.
x' = x-(-2)
x' - 2 = x

Se você colocar x'-2 = x
irá encontrar aquele polinômio mencionado por vc...
Sem o termo de segundo grau!!!!
Ou vc pode simplesmente aplicar o Algoritmo de Horner-Ruffini que é praticamente o mesmo mecanismo clássico de Ruffini, só que com outra intenção...

Materiais legais:

Resposta

---

http://www.gopem.com.br/apostilas/matematica/67.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=udTOQ59UTtE

Essa solução deve ser a mais trabalhosa algebricamente. Mas eu não consegui enxergar outra.
Pode ser que vc esteja matando uma formiga com um canhão!!!

Vou chegar naquele polinômio que você falou...

[jeabud]

Zhadnyy, grato..

[jeabud]

Zhadnyy, obrigado pelos materiais...achei meio complicado, nunca vi isso..rs

porem umas duvidas...
1) vc fez x + 2, pq encontrou na derivada x = -2 correto? se tivesse encontrado por exemplo x = -10....ficaria x' = x - (-10) -> x = x' + 10, certo?

2) para transformar uma equação ax³ + bx² + cx + d = 0 em ax³ + px + q = 0 derivamos até achar uma raiz q será igual a original.
eu achei a raiz atraves da derivada....dai posso substituir na equação original pra achar a equação ax³ + px + q = 0 ou usar o horner - ruffini, isso?

3) feito os dois passos...uso a formula de cardano-targaglia
[tex3]\\\text{}\\

x^3+px+q=0\rightarrow x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\\text{}\\

x^3+px+q=0\rightarrow x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}[/tex3]

a raiz real só jogar na formula acima...mas e as outra duas raizes? como eu faria pra achar as raízes complexas?

Obs: tem 3 casos...

I) q³ + r² > 0

II) q³ + r² = 0

III) q³ + r² < 0

nosso caso aqui é o II, mas e se fosse o caso III, teria a formula, mas e se fosse o caso I?

grato

[Deleted User 23699]

O gabarito é

monstro.png (14.74 KiB) Exibido 1513 vezes

Acho q realmente não há outra saída além dessa...
Não que eu conheça.

jeabud
1) Certo
2) Certo
3) Se você tem uma raíz, você pode usar o clássico Ruffini para "abaixar o grau" da equação... Aí você obtém uma equação de segundo grau que pode ser resolvida por Bháskara

Não sei de onde você tirou essa equação, mas se for de algum livro de Ensino Médio, acho que há erro de digitação... É uma questão EXTREMAMENTE trabalhosa.

[jeabud]

Zhadnyy, obg pelos esclarecimentos e paciência...

1º) Qual programa q vc usa pra dar soluções?

2º) na minha pergunta original e com seu conhecimento, cheguei na primeira raiz x1 = –6,03 (aproximado), porém, eu posso usar o classico Ruffini e baixar o grau? Mesmo tento arredondado a solução?

3º) Dei uma procura no google é achei esse site...http://www.profcardy.com/cardicas/cardano.php#

[mcarvalho]

A principal dúvida permance... essa questão é de ensino médio ou não é?

[Deleted User 23699]

jeabud

1. Vi as soluções aqui:

Resposta

---

https://www.wolframalpha.com/

Ele dá elas já aproximadas... mas tem um botãozinho que você aperta para ver a "Exact Solution"...

2. Eu sinceramente acho que essa questão, seja la onde voce viu, está com o enunciado errado... é MUITA conta para fazer. O certo, em Matemática, é nunca arredondar... Nunca precisei arredondar uma raíz para usa-la em Ruffini. Essa equação é MUITO

3. É bacana saber a equação de Cardano. Esse site é bem legal. Mas, sinceramente, no vestibular é MUITO DIFICIL você ter que usar essa equação. MUITO MESMO. Geralmente as questões saem pelos métodos normais, q são vistos normalmente no ensino médio como Teorema das Raizes Racionais etc...