Ensino Médio ⇒ Bissetriz e incentro Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Se R e r são, respectivamente, os raios das circunferências circunscrita e inscrita de um triângulo ABC, e ra, rb, rc são, respectivamente, os raios das circunferências ex-inscritas aos lados a, b e c, demonstre que:

g) [tex3]64Rr_{a}r_{b}r_{c}=\frac{a^2b^2c^2}{4p^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]64Rr_{a}r_{b}r_{c}=\frac{a^2b^2c^2}{4p^2}[/tex3]

(ERRADA)

i) [tex3]r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r[/tex3]

j) [tex3]2=h_{c}\left(\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}\right)= \text{e análogos...}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2=h_{c}\left(\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}\right)= \text{e análogos...}[/tex3]

l) [tex3]\frac{1}{r}=\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{r}=\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}[/tex3]

m) [tex3]tg\frac{B}{2}.tg\frac{C}{2}=\frac{h_{a}-2r}{h_{a}}=\frac{h_{a}}{2r_{a}+h_{a}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg\frac{B}{2}.tg\frac{C}{2}=\frac{h_{a}-2r}{h_{a}}=\frac{h_{a}}{2r_{a}+h_{a}}[/tex3]

Comentários:
1. Achei a alternativa g consideravelmente estranha. Pode estar incorreta.
2. Achei uma demonstração para a alternativa i usando "antipodal point". Não tenho domínio disso. Todas as outras alternativas da questão (que vai até a letra O) foram resolvidas usando álgebra simples.

[Tassandro]

Zhadnyy,
Acho que essa letra i é o que também está demonstrado aqui
viewtopic.php?f=28&t=82352

[Tassandro]

Zhadnyy,
https://en.wikipedia-on-ipfs.org/wiki/I ... angle.html
Acho também que essa letra i está errada.
Usando as fórmulas desse link, o que consigo obter mais perto é fazendo
[tex3]\frac{a^2b^2c^2}{16R}=rr_ar_br_c\\
Rr=\frac{abc}{2p}\\
\frac{a^2b^2c^2}{8p}=Rr_ar_br_c[/tex3]

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[tex3]\frac{a^2b^2c^2}{16R}=rr_ar_br_c\\
Rr=\frac{abc}{2p}\\
\frac{a^2b^2c^2}{8p}=Rr_ar_br_c[/tex3]

[Deleted User 23699]

Letra L:

[tex3]2S=2pr=ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}\\
\frac{2p}{\frac{1}{r}}=\frac{a}{\frac{1}{h_{a}}}=\frac{b}{\frac{1}{h_{b}}}=\frac{c}{\frac{1}{h_{c}}}\\
\frac{2p}{\frac{1}{r}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}} \\
\text{Multiplicação cruzada...}\\
\rightarrow \frac{1}{r}=\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2S=2pr=ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}\\
\frac{2p}{\frac{1}{r}}=\frac{a}{\frac{1}{h_{a}}}=\frac{b}{\frac{1}{h_{b}}}=\frac{c}{\frac{1}{h_{c}}}\\
\frac{2p}{\frac{1}{r}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}} \\
\text{Multiplicação cruzada...}\\
\rightarrow \frac{1}{r}=\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}[/tex3]

[Deleted User 23699]

Letra J:

[tex3]S=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=\frac{ch_{c}}{2}\\
2S=\frac{2(p-a)}{\frac{1}{r_{a}}}=\frac{2(p-b)}{\frac{1}{r_{b}}}=\frac{h_{c}}{\frac{1}{c}}\\
\frac{2(p-a)+2(p-b)}{\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}}\cdot \frac{1}{c}=h_{c}\\
2=h_{c}\left(\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}\right)\\
\text{Segue a mesma ideia para os análogos...}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=\frac{ch_{c}}{2}\\
2S=\frac{2(p-a)}{\frac{1}{r_{a}}}=\frac{2(p-b)}{\frac{1}{r_{b}}}=\frac{h_{c}}{\frac{1}{c}}\\
\frac{2(p-a)+2(p-b)}{\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}}\cdot \frac{1}{c}=h_{c}\\
2=h_{c}\left(\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}\right)\\
\text{Segue a mesma ideia para os análogos...}[/tex3]

Letra M

[tex3]\text{Sabemos que...}\\
tg\left(\frac{A}{2}\right)=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}} \text{ ...e análogos...}\\
\text{Usando isso...}\\
tg\left(\frac{B}{2}\right)tg\left(\frac{C}{2}\right)=1-\frac{a}{p}\\
\text{Nos pedem para provar que isso é igual a... }\\
\frac{{h_{a}+2r}}{h_{a}}=1-\frac{2r}{h_{a}}\\
\text{Vamos igualar?}\\
1-\frac{2r}{h_{a}}=1-\frac{a}{p}\rightarrow \frac{a}{p}=\frac{2r}{h_{a}}\\
\text{Isso é verdade? Obviamente sim! Observe:}\\
ah_{a}=2pr\rightarrow 2S=2S\\
\text{O mesmo raciocínio é aplicado para o outro termo que nos pedem:}\\
tg\left(\frac{B}{2}\right)tg\left(\frac{C}{2}\right)=\frac{(p-a)}{p}\\
\frac{(p-a)}{p}=\frac{h_{a}}{2r_{a}+h_{a}}\rightarrow 2(p-a)r_{a}=ah_{a}\\
\text{Isso é verdade? Obviamente sim!!! E também vale 2S}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{Sabemos que...}\\
tg\left(\frac{A}{2}\right)=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}} \text{ ...e análogos...}\\
\text{Usando isso...}\\
tg\left(\frac{B}{2}\right)tg\left(\frac{C}{2}\right)=1-\frac{a}{p}\\
\text{Nos pedem para provar que isso é igual a... }\\
\frac{{h_{a}+2r}}{h_{a}}=1-\frac{2r}{h_{a}}\\
\text{Vamos igualar?}\\
1-\frac{2r}{h_{a}}=1-\frac{a}{p}\rightarrow \frac{a}{p}=\frac{2r}{h_{a}}\\
\text{Isso é verdade? Obviamente sim! Observe:}\\
ah_{a}=2pr\rightarrow 2S=2S\\
\text{O mesmo raciocínio é aplicado para o outro termo que nos pedem:}\\
tg\left(\frac{B}{2}\right)tg\left(\frac{C}{2}\right)=\frac{(p-a)}{p}\\
\frac{(p-a)}{p}=\frac{h_{a}}{2r_{a}+h_{a}}\rightarrow 2(p-a)r_{a}=ah_{a}\\
\text{Isso é verdade? Obviamente sim!!! E também vale 2S}[/tex3]