Ensino Médio

Considere as funções reais f(g(x))=[tex3]\begin{cases}
4x^{2}-6x-1 , se\ x\geq 1\\
4x+3, se\ x<1
\end{cases}[/tex3] e g(x) = 2x-3
Com base nessas funções classifique as afirmativas abaixo como VERDADEIRA(S) ou FALSA(S)

I. f(x) é par
II. f(x) admite inversa em todo seu domínio
III. f(x) é crescente em {x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3] | x < -1} e em {x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3] |x [tex3]\geq [/tex3] -1}
IV. se x < -6 então f(x) > -3

Resposta

F-F-V-F

Minha dúvida aqui é como achar o f(x)

Bom dia.

A função composta [tex3]f\circ g[/tex3] é a função [tex3]f[/tex3] que recebe [tex3]g[/tex3] como argumento.

(i) Para x < 1, podemos chutar que f é de primeiro grau.

Então: [tex3]f(x)=ax+b\rightarrow f(g(x))=a(g(x))+b=a(2x-3)+b\\f(g(x))=2xa-3a+b[/tex3]

Comparando termo-a-termo, vem: [tex3]2xa=4x\rightarrow a=2[/tex3] e [tex3]b-3a=3\rightarrow b=9[/tex3]

Então [tex3]f(x)=2x+9[/tex3] para x < 1

(ii) para [tex3]x\ge 1[/tex3] , podemos chutar que f é de segundo grau.

Então: [tex3]f(x)=mx^2+nx+p\rightarrow f(g(x))=m[g(x)]^2+ng(x)+p\\
f(g(x))=m(2x-3)^2+n(2x-3)+p=4x^2m-12xm+9m+2xn-3n+p\\
f(g(x))=4mx^2+(2n-12m)x+9m-3n+p[/tex3]

Comparando termo-a-termo, vem: [tex3]4m=4\rightarrow m=1\\ (2n-12m)=-6\rightarrow n=3\\ 9m-3n+p=-1\rightarrow p=-1[/tex3]

Então [tex3]f(x)=x^2+3x-1\text{ para }x\ge 1[/tex3]

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