Ensino Médio ⇒ Equação Irracional Tópico resolvido

[05kilowatts]

Boa Tarde amigos.
alguém poderia me ajudar a resolver isso ? Não consigo de maneira alguma.

[tex3]\frac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{3}}}+\frac{x-\sqrt{3}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}}=\sqrt{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{3}}}+\frac{x-\sqrt{3}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}}=\sqrt{x}[/tex3]

Resposta

---

resposta = 2

[goncalves3718]

Acredito que uma boa ideia seja elevar os termos ao quadrado. Dessa forma:

[tex3]\left(\sqrt{x}\right)^2= \left( \dfrac{x+ \sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}}} +\dfrac{x- \sqrt{3}}{\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}}}\right)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\sqrt{x}\right)^2= \left( \dfrac{x+ \sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}}} +\dfrac{x- \sqrt{3}}{\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}}}\right)^2[/tex3]

Agora basta desenvolver o produto notável:

[tex3]x= \left( \dfrac{x+ \sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+\sqrt{3}}} \right)^2 + 2\cdot \left( \dfrac{x+ \sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}}}\right) \cdot \left( \dfrac{x- \sqrt{3}}{\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}}} \right) + \left( \dfrac{x- \sqrt{3}}{\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}}} \right)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x= \left( \dfrac{x+ \sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+\sqrt{3}}} \right)^2 + 2\cdot \left( \dfrac{x+ \sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}}}\right) \cdot \left( \dfrac{x- \sqrt{3}}{\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}}} \right) + \left( \dfrac{x- \sqrt{3}}{\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}}} \right)^2[/tex3]

Temos mais desenvolvimentos:

[tex3]x = \dfrac{(x+ \sqrt{3})^2}{(\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}})^2} + 2\cdot \dfrac{(x+\sqrt{3}) \cdot (x-\sqrt{3})}{(\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}}) \cdot (\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}})} + \dfrac{(x-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{x}- \sqrt{x-\sqrt{3}})^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = \dfrac{(x+ \sqrt{3})^2}{(\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}})^2} + 2\cdot \dfrac{(x+\sqrt{3}) \cdot (x-\sqrt{3})}{(\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}}) \cdot (\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}})} + \dfrac{(x-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{x}- \sqrt{x-\sqrt{3}})^2}[/tex3]

Novamente com produtos notáveis acredito que chegue na resposta!
Não é difícil , mas preste atenção!

[Tassandro]

05kilowatts,
[tex3]\frac{x+\sqrt 3}{\sqrt x+\sqrt{x+\sqrt3}}=\frac{(x+\sqrt 3)(\sqrt x-\sqrt{x+\sqrt 3})}{-\sqrt3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x+\sqrt 3}{\sqrt x+\sqrt{x+\sqrt3}}=\frac{(x+\sqrt 3)(\sqrt x-\sqrt{x+\sqrt 3})}{-\sqrt3}[/tex3]

Fazendo o mesmo para a outra parcela, vem que a expressão do enunciado equivale a
[tex3]\frac{(x+\sqrt 3)(-\sqrt x+\sqrt{x+\sqrt 3})}{\sqrt3}+\frac{(x-\sqrt 3)(\sqrt x+\sqrt{x-\sqrt 3})}{\sqrt3}=\sqrt x\to\\
-x\sqrt x+x\sqrt{x+\sqrt3}-\sqrt{3x}+\sqrt{3(x+\sqrt3)}+x\sqrt x+x\sqrt{x-\sqrt 3}-\sqrt{3x}-\sqrt{3(x-\sqrt 3)}=\sqrt{3x}\to\\
x(\sqrt{x+\sqrt 3}+\sqrt{x-\sqrt 3})+\sqrt3(\sqrt{x+\sqrt3}-\sqrt{x-\sqrt3})=3\sqrt{3x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(x+\sqrt 3)(-\sqrt x+\sqrt{x+\sqrt 3})}{\sqrt3}+\frac{(x-\sqrt 3)(\sqrt x+\sqrt{x-\sqrt 3})}{\sqrt3}=\sqrt x\to\\
-x\sqrt x+x\sqrt{x+\sqrt3}-\sqrt{3x}+\sqrt{3(x+\sqrt3)}+x\sqrt x+x\sqrt{x-\sqrt 3}-\sqrt{3x}-\sqrt{3(x-\sqrt 3)}=\sqrt{3x}\to\\
x(\sqrt{x+\sqrt 3}+\sqrt{x-\sqrt 3})+\sqrt3(\sqrt{x+\sqrt3}-\sqrt{x-\sqrt3})=3\sqrt{3x}[/tex3]

A partir de agora é conta, mas é conta, meu amigo! Você vai ter que elevar essa maravilha ao quadrado 2 vezes e fazer umas fatorações, chegando a
[tex3](x-2)(x+2)(16x^4-39x^2-36)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-2)(x+2)(16x^4-39x^2-36)=0[/tex3]

Resolvendo essas equações, teremos 2 soluções complexas, o que não convém, 2 soluções reais mas que ao substituirmos na equação original, não convém, x=-2 (não pode, pois estamos trabalhando com números reais, imagino), e finamente, a solução x=2.
Não sei se tem um jeito mais rápido, mas seria muito bom.

[05kilowatts]

Acredito que uma boa ideia seja elevar os termos ao quadrado. Dessa forma:

[tex3]\left(\sqrt{x}\right)^2= \left( \dfrac{x+ \sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}}} +\dfrac{x- \sqrt{3}}{\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}}}\right)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\sqrt{x}\right)^2= \left( \dfrac{x+ \sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}}} +\dfrac{x- \sqrt{3}}{\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}}}\right)^2[/tex3]

Agora basta desenvolver o produto notável:

[tex3]x= \left( \dfrac{x+ \sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+\sqrt{3}}} \right)^2 + 2\cdot \left( \dfrac{x+ \sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}}}\right) \cdot \left( \dfrac{x- \sqrt{3}}{\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}}} \right) + \left( \dfrac{x- \sqrt{3}}{\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}}} \right)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x= \left( \dfrac{x+ \sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+\sqrt{3}}} \right)^2 + 2\cdot \left( \dfrac{x+ \sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}}}\right) \cdot \left( \dfrac{x- \sqrt{3}}{\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}}} \right) + \left( \dfrac{x- \sqrt{3}}{\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}}} \right)^2[/tex3]

Temos mais desenvolvimentos:

[tex3]x = \dfrac{(x+ \sqrt{3})^2}{(\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}})^2} + 2\cdot \dfrac{(x+\sqrt{3}) \cdot (x-\sqrt{3})}{(\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}}) \cdot (\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}})} + \dfrac{(x-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{x}- \sqrt{x-\sqrt{3}})^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = \dfrac{(x+ \sqrt{3})^2}{(\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}})^2} + 2\cdot \dfrac{(x+\sqrt{3}) \cdot (x-\sqrt{3})}{(\sqrt{x}+ \sqrt{x+ \sqrt{3}}) \cdot (\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{3}})} + \dfrac{(x-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{x}- \sqrt{x-\sqrt{3}})^2}[/tex3]

Novamente com produtos notáveis acredito que chegue na resposta!
Não é difícil , mas preste atenção!

Fiz a resolução em produto notável, mas não vejo como conseguir ir muito além !
Grato pela atenção.

[05kilowatts]

05kilowatts,
[tex3]\frac{x+\sqrt 3}{\sqrt x+\sqrt{x+\sqrt3}}=\frac{(x+\sqrt 3)(\sqrt x-\sqrt{x+\sqrt 3})}{-\sqrt3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x+\sqrt 3}{\sqrt x+\sqrt{x+\sqrt3}}=\frac{(x+\sqrt 3)(\sqrt x-\sqrt{x+\sqrt 3})}{-\sqrt3}[/tex3]

Fazendo o mesmo para a outra parcela, vem que a expressão do enunciado equivale a
[tex3]\frac{(x+\sqrt 3)(-\sqrt x+\sqrt{x+\sqrt 3})}{\sqrt3}+\frac{(x-\sqrt 3)(\sqrt x+\sqrt{x-\sqrt 3})}{\sqrt3}=\sqrt x\to\\
-x\sqrt x+x\sqrt{x+\sqrt3}-\sqrt{3x}+\sqrt{3(x+\sqrt3)}+x\sqrt x+x\sqrt{x-\sqrt 3}-\sqrt{3x}-\sqrt{3(x-\sqrt 3)}=\sqrt{3x}\to\\
x(\sqrt{x+\sqrt 3}+\sqrt{x-\sqrt 3})+\sqrt3(\sqrt{x+\sqrt3}-\sqrt{x-\sqrt3})=3\sqrt{3x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(x+\sqrt 3)(-\sqrt x+\sqrt{x+\sqrt 3})}{\sqrt3}+\frac{(x-\sqrt 3)(\sqrt x+\sqrt{x-\sqrt 3})}{\sqrt3}=\sqrt x\to\\
-x\sqrt x+x\sqrt{x+\sqrt3}-\sqrt{3x}+\sqrt{3(x+\sqrt3)}+x\sqrt x+x\sqrt{x-\sqrt 3}-\sqrt{3x}-\sqrt{3(x-\sqrt 3)}=\sqrt{3x}\to\\
x(\sqrt{x+\sqrt 3}+\sqrt{x-\sqrt 3})+\sqrt3(\sqrt{x+\sqrt3}-\sqrt{x-\sqrt3})=3\sqrt{3x}[/tex3]

A partir de agora é conta, mas é conta, meu amigo! Você vai ter que elevar essa maravilha ao quadrado 2 vezes e fazer umas fatorações, chegando a
[tex3](x-2)(x+2)(16x^4-39x^2-36)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-2)(x+2)(16x^4-39x^2-36)=0[/tex3]

Resolvendo essas equações, teremos 2 soluções complexas, o que não convém, 2 soluções reais mas que ao substituirmos na equação original, não convém, x=-2 (não pode, pois estamos trabalhando com números reais, imagino), e finamente, a solução x=2.
Não sei se tem um jeito mais rápido, mas seria muito bom.

Muito Obrigado.
(x+2)(x-2)=0 Gera a Resposta correta,

[Tassandro]

Muito Obrigado.

Disponha!