Ensino Médio ⇒ Concorrência e colinearidade

[Deleted User 23699]

Em um triângulo ABC, as cevianas AD, BE e CF concorrem em P. Mostre que

[tex3]\frac{S_{DEF}}{2S_{ABC}}=\frac{PD .PE.PF}{PA.PB.PC}[/tex3]

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[tex3]\frac{S_{DEF}}{2S_{ABC}}=\frac{PD .PE.PF}{PA.PB.PC}[/tex3]

[Tassandro]

Zhadnyy,
Não cheguei na relação ainda, mas veja se você consegue terminar:
Podemos fazer que:
[tex3]\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}}=\frac{PD}{AD}[/tex3]

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[tex3]\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}}=\frac{PD}{AD}[/tex3]

, pois os triângulos possuem a mesma base a razão entre as suas alturas é igual a razão [tex3]\frac{PD}{AD}.[/tex3]

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[tex3]\frac{PD}{AD}.[/tex3]

Usando propriedades de proporção:
[tex3]\frac{S_{ABC}-S_{PBC}}{S_{ABC}}=\frac{\overbrace{AD-PD}^{PA}}{PD}=\frac{PA}{PD}[/tex3]

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[tex3]\frac{S_{ABC}-S_{PBC}}{S_{ABC}}=\frac{\overbrace{AD-PD}^{PA}}{PD}=\frac{PA}{PD}[/tex3]

Analogamente...
[tex3]\frac{S_{ABC}-S_{PAB}}{S_{ABC}}=\frac{PC}{PF}\\
\frac{S_{ABC}-S_{PAC}}{S_{ABC}}=\frac{PB}{PE}[/tex3]

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[tex3]\frac{S_{ABC}-S_{PAB}}{S_{ABC}}=\frac{PC}{PF}\\
\frac{S_{ABC}-S_{PAC}}{S_{ABC}}=\frac{PB}{PE}[/tex3]

Somando tudo...
[tex3]\frac{3S_{ABC}-\overbrace{(S_{PAB}+S_{PAC}+S_{PBC})}^{S_{ABC}}}{S_{ABC}}=\frac{PA}{PD}+\frac{PB}{PE}+\frac{PC}{PF}\implies\\
2S_{ABC}=S_{ABC}\(\frac{PA}{PD}+\frac{PB}{PE}+\frac{PC}{PF}\)[/tex3]

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[tex3]\frac{3S_{ABC}-\overbrace{(S_{PAB}+S_{PAC}+S_{PBC})}^{S_{ABC}}}{S_{ABC}}=\frac{PA}{PD}+\frac{PB}{PE}+\frac{PC}{PF}\implies\\
2S_{ABC}=S_{ABC}\(\frac{PA}{PD}+\frac{PB}{PE}+\frac{PC}{PF}\)[/tex3]

Agora o negócio é provar que o lado esquerdo é igual a [tex3]S_{DEF}...[/tex3]

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[tex3]S_{DEF}...[/tex3]

vou mostrar algumas relações que eu cheguei já:
[tex3]\frac{S_{PDF}}{S_{PAC}}=\frac{PD×PF}{PA×PC}\\
\frac{S_{PDF}}{S_{PAB}}=\frac{PD×PE}{PA×PB}\\
\frac{S_{PEF}}{S_{PBC}}=\frac{PE×PF}{PB×PC}\\
S_{PDF}+S_{PED}+S_{PFE}=S_{DEF}[/tex3]

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[tex3]\frac{S_{PDF}}{S_{PAC}}=\frac{PD×PF}{PA×PC}\\
\frac{S_{PDF}}{S_{PAB}}=\frac{PD×PE}{PA×PB}\\
\frac{S_{PEF}}{S_{PBC}}=\frac{PE×PF}{PB×PC}\\
S_{PDF}+S_{PED}+S_{PFE}=S_{DEF}[/tex3]

Agora é muita conta e paciência...

[jvmago]

Vou comprar essa briga aqui

[Tassandro]

lado esquerdo

Lado direito, foi mal...

[Tassandro]

Zhadnyy,
Para facilitar minha vida digitando, farei [tex3]BD=a_1,CD=a_2, b_1=CE, b_2=AE, AF=c_1,BF=c_2,\\
a=\frac{a_1}{a_2};b=\frac{b_1}{b_2},c=\frac{c_1}{c_2}[/tex3]

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[tex3]BD=a_1,CD=a_2, b_1=CE, b_2=AE, AF=c_1,BF=c_2,\\
a=\frac{a_1}{a_2};b=\frac{b_1}{b_2},c=\frac{c_1}{c_2}[/tex3]

Por Ceva, [tex3]abc=1[/tex3]

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[tex3]abc=1[/tex3]

.
Além disso, temos que
[tex3]\begin{align}
\frac{AP}{PD} &= \frac{S_{ABE}}{S_{DBE}}
= \frac{\frac{b_2}{b_1+b_2}S_{ABC} }{ \frac{a_1}{a_1+a_2}\frac{b_1}{b_1+b_2}S_{ABC} }
= \frac1b(1 + \frac1a )=c(1+a)\\
\end{align}
[/tex3]

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[tex3]\begin{align}
\frac{AP}{PD} &= \frac{S_{ABE}}{S_{DBE}}
= \frac{\frac{b_2}{b_1+b_2}S_{ABC} }{ \frac{a_1}{a_1+a_2}\frac{b_1}{b_1+b_2}S_{ABC} }
= \frac1b(1 + \frac1a )=c(1+a)\\
\end{align}
[/tex3]

Analogamente, [tex3]\frac{BP}{PE}=a(1+b)[/tex3]

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[tex3]\frac{BP}{PE}=a(1+b)[/tex3]

e [tex3]\frac{CP}{PF}=b(1+c)[/tex3]

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[tex3]\frac{CP}{PF}=b(1+c)[/tex3]

Assim,
[tex3]\frac{PA}{PD}\cdot\frac{PB}{BE}\cdot\frac{PC}{PF}
=(1+a)(1+b)(1+c)\tag1
[/tex3]

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[tex3]\frac{PA}{PD}\cdot\frac{PB}{BE}\cdot\frac{PC}{PF}
=(1+a)(1+b)(1+c)\tag1
[/tex3]

Além disso,
[tex3]\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}} = \frac{b_2}{b_1+b_2}\frac{c_1}{c_1+c_2} =\frac c{(1+c)(1+b)} \\
\frac{S_{BDF}}{S_{ABC}}= \frac a{(1+a)(1+c)} ,\>\>\>\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}= \frac b{(1+b)(1+a)}
[/tex3]

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[tex3]\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}} = \frac{b_2}{b_1+b_2}\frac{c_1}{c_1+c_2} =\frac c{(1+c)(1+b)} \\
\frac{S_{BDF}}{S_{ABC}}= \frac a{(1+a)(1+c)} ,\>\>\>\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}= \frac b{(1+b)(1+a)}
[/tex3]

e
[tex3]\begin{align}
\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} & = \frac{S_{ABC}- S_{AEF}- S_{BDF} - S_{CDE}}{S_{ABC}} \\
&= 1-\frac c{(1+c)(1+b)} - \frac a{(1+a)(1+c)} - \frac b{(1+b)(1+a)}\\
&= \frac {abc+1}{(1+a)(1+b)(1+c)}\tag2\\
\end{align}[/tex3]

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[tex3]\begin{align}
\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} & = \frac{S_{ABC}- S_{AEF}- S_{BDF} - S_{CDE}}{S_{ABC}} \\
&= 1-\frac c{(1+c)(1+b)} - \frac a{(1+a)(1+c)} - \frac b{(1+b)(1+a)}\\
&= \frac {abc+1}{(1+a)(1+b)(1+c)}\tag2\\
\end{align}[/tex3]

Como abc=1, de (1) e de (2) vem que
[tex3]\frac{S_{DEF}}{2S_{ABC}}=\frac{PD .PE.PF}{PA.PB.PC}\\
\blacksquare[/tex3]

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[tex3]\frac{S_{DEF}}{2S_{ABC}}=\frac{PD .PE.PF}{PA.PB.PC}\\
\blacksquare[/tex3]