Ensino Médio ⇒ Concorrência e colinearidade Tópico resolvido

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Um círculo é tangente ao lado BC do triângulo ABC em M, seu ponto médio, e corta AB e AC nos pontos R, R', S, S', respectivamente. Se RS e R'S' são prolongados até cortar BC nos pontos P e P' respectivamente, prove que

BP x BP' = CP x CP'

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Consegui...

Usei Menelaus e Potência de Ponto...

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[tex3]\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CS}{SA}=1 \\
\frac{AR'}{R'B}\cdot \frac{BP'}{P'C}\cdot \frac{CS'}{S'A}=1\\
AR\cdot AR'=AS\cdot AS'\\
\space \\
\frac{BP}{PC}\cdot \frac{BP'}{P'C}\cdot \frac{CS'}{R'B}\cdot \frac{CS}{RB}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CS}{SA}=1 \\
\frac{AR'}{R'B}\cdot \frac{BP'}{P'C}\cdot \frac{CS'}{S'A}=1\\
AR\cdot AR'=AS\cdot AS'\\
\space \\
\frac{BP}{PC}\cdot \frac{BP'}{P'C}\cdot \frac{CS'}{R'B}\cdot \frac{CS}{RB}=1[/tex3]

Observe que
Sendo M o ponto médio de BC
[tex3]CS'\cdot CS=R'B\cdot RB=BM^2=MC^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CS'\cdot CS=R'B\cdot RB=BM^2=MC^2[/tex3]

Logo

[tex3]BP\cdot BP'=CP\cdot CP' \\
cqd[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BP\cdot BP'=CP\cdot CP' \\
cqd[/tex3]